8. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Šípka, ktorá sa vo vzduchu objavila avšak nebola len obyčajnou šípkou. Šípka bola rovnostranným trojuholníkom ABC, ktorého stredy strán boli označené ako A_1, B_1, C_1. Body M, K ležia na úsečkách AB_1, resp. A_1B. Na šípke boli ďalej nakreslené štyri úsečky KB_1, KC_1, MA_1, MC_1, čím vznikli dva štvoruholníky ako je vidieť na obrázku. Dokážte, že ich obsahy sú rovnako veľké.

Vzorové riešenie

Opravovali: elusq, maria, misou

Keďže body A_1, B_1, C_1 sú stredmi strán \triangle ABC, tak úsečky A_1B_1, A_1C_1, B_1C_1 sú jeho stredné priečky. Na základe toho vieme povedať niekoľko vecí. Stredná priečka trojuholníka je rovnobežná so stranou trojuholníka, ktorej stred sa na nej nenachádza, pričom dĺžka tejto strednej priečky sa rovná polovici dĺžky rovnobežnej strany. Keďže \triangle ABC je rovnostranný, všetky jeho stredné priečky budú mať dĺžku rovnú polovici strany. Taktiež všetky tri stredné priečky trojuholníka rozdieľujú trojuholník na 4 zhodné rovnostranné trojuholníčky (keďže veľký a malý trojuholník sú podobné v pomere 1:2).

Keďže obsah trojuholníka sa dá vypočítať ako polovica súčinu strany a výšky kolmej na túto stranu, obsah dvoch trojuholníkov bude rovnaký, keď budú mať rovnako dlhú stranu a výšku. Teraz si môžeme všimnúť, že \triangle A_1C_1M a \triangle A_1C_1B_1 rovnakú stranu (úsečku A_1C_1). Vieme, že A_1C_1 je rovnobežné s AC a body M a B_1 ležia na úsečke AC. To znamená, že kolmica na úsečku A_1C_1 z bodu M a z bodu B_1 je rovnako dlhá, lebo vzdialenosť medzi rovnobežnými úsečkami je rovnaká. Takže \triangle A_1C_1M a \triangle A_1C_1B_1 majú rovnako dlhú aj stranu, aj výšku na ňu. Dostávame, že S_{\triangle A_1C_1M} = S_{\triangle A_1C_1B_1}. Keďže \triangle A_1B_1C je zhodný s \triangle A_1B_1C_1, tak S_{\triangle A_1B_1C} = S_{\triangle A_1C_1M} .

Podobne sa dá ukázať, že S_{\triangle A_1KB_1} = S_{\triangle A_1KC_1} , keďže majú rovnakú stranu (úsečku A_1K) a majú rovnako dlhú výšku (vzdialenosť medzi rovnobežnými úsečkami BC a B_1C_1).

Štvoruholník A_1MC_1K sa skladá z \triangle A_1C_1M a \triangle A_1KC_1 , takže

S_{\triangle A_1MC_1K}= S_{\triangle A_1C_1M} + S_{\triangle A_1KC_1}.

Ďalej trojuholník B_1KC sa skladá z \triangle A_1B_1C a \triangle A_1KB_1 , čiže

S_{\triangle B_1KC} = S_{\triangle A_1B_1C} + S_{\triangle A_1KB_1}.

Ako už vieme, S_{\triangle A_1C_1M} = S_{\triangle A_1B_1C} , rovnako ako aj S_{\triangle A_1KC_1} = S_{\triangle A_1KB_1} , takže aj ich súčet, teda mnohouholníky A_1MC_1K a B_1KC musia mať rovnaký obsah. Oba mnohouholníky obsahujú trojuholník s vrcholmi A_1, K a S (priesečník úsečiek A_1M a B_1K). Nakoniec odčítaním obsahu \triangle A_1KS od mnohouholníkov A_1MC_1K a B_1KC , získame, že aj S_{\triangle KSMC_1} = S_{\triangle BSA_1C}.

Teda sme dokazali, že štvoruholníky zo zadania musia mať rovnaký obsah.