6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Na kryštálovej tabuľke je nakreslená kružnica so stredom S. Na nej je vyznačených niekoľko bodov, ktoré tvoria vrcholy pravidelného mnohouholníka. Tri susedné vrcholy tohto mnohouholníka si nazveme postupne A, B, C. Vieme, že veľkosť uhla \sphericalangle CAS je 66°. Koľko vrcholov má tento mnohouholník?

Vzorové riešenie

Opravovali: Matej_Krivosik, mišo

Zo zadania vieme, že body A,\, B a C ležia na kružnici. Ich vzdialenosť od S tak bude rovnaká — polomer kružnice. Z toho vyplýva, že trojuholník ASC bude rovnoramenný so záklaňou AC. Takže pre uhly platí | \measuredangle ACS| = | \measuredangle CAS| = 66°. Navyše vieme, že súčet uhlov v trojuholníku je 180°, takže | \measuredangle ASC| = 180° - 2 \cdot 66° = 48°.

Rovnako ako trojuholník ACS, aj trojuholníky ABS a BCS sú rovnoramenné. Navyše majú aj všetky strany zhodne dlhé, keďže sa jedná o pravidelný mnohouholník. Uhly \measuredangle ASB a \measuredangle BSC sú teda rovnako veľké, takže musia byť 24°.

Na obvode kružnice musia byť body daného mnohouholníka rozmiestnené rovnomerne, nakoľko je pravidelný. Uhly okolo bodu S budú tak rovnaké 24° a spolu musia vyplniť 360°. Z toho vyplýva, že sa jedná o 360° : 24° = 15-uholník.

Odpoveď: Hľadaný mnoholuholník má 15 vrcholov.