3. príklad - Vzorové riešenie

Štvorciferných čísel je veľa (9000) a štvorciferných čísel, ktoré sú násobkami 36 je stále veľmi veľa (250). Aby sme ich nemuseli všetky skúšať, spíšeme si čo vieme o deliteľnosti čísel a koľko a kde umiestnených jednotiek môžeme v hľadanom čísle mať.

Ak existuje pravidlo, ktoré sa dá aplikovať na všetky násobky čísla x a žiadne číslo, ktoré nie je jeho násobkom toto pravidlo nespĺňa, nazývame ho “pravidlo deliteľnosti číslom x”.

Číslo 36 nie je prvočíslo a nepoznáme žiadne pravidlo deliteľnosti číslom 36, musíme si ho preto rozdeliť na súčin niekoľkých menších deliteľov:

36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6

Pre tieto delitele čísla 36 poznáme pravidlá deliteľnosti:

• 2 - číslo x musí byť párne a teda končiace na cifru 0, 2, 4, 6 alebo 8
• 3 - ciferný súčet musí byť deliteľný číslom 3
• 4 - posledné dvojčíslie (číslo zložené z cifier na mieste desiatok a jednotiek) musí byť deliteľné číslom 4
• 9 - ciferný súčet musí byť deliteľný číslom 9

Pre všetky čísla x, pre ktoré nepoznáme pravidlo deliteľnosti, platí:

Ak poznáme pravidlá deliteľnosti pre nejaké dve čísla, ktoré nie sú deliteľné rovnakým prvočíslom a majú súčin x, potom obe tieto pravidlá spĺňajú jedine všetky násobky čísla x.

Vďaka tomu nám postačí, aby hľadané číslo splnilo pravidlá deliteľnosti čísel 4 a 9.

Čísla, ktoré hľadáme musia mať medzi ciframi len 2 alebo 3 jednotky, pretože číslo 1111 nie je deliteľné 36. Keďže vieme, že 36 je párne, aj hľadané číslo musí byť párne a nemôže sa teda končiť na cifru 1. Usporiadanie cifier 1 v čísle sa nám zníži na 4 možnosti:

1. 111_
2. 11__
3. 1_1_
4. _11_

A. 111_
Využijeme pravidlo deliteľnosti číslom 9–ciferný súčet čísla musí byť deliteľný 9timi. Tu vyhovuje len možnosť \mathbf{1116} (1+1+1+6 = 9), ktorá je zároveň deliteľná 4mi, lebo posledné dvojčíslie je 16. Väčší ciferný súčet deliteľný 9timi nevieme pomocou jednej cifry dosiahnuť.

B. 11__
Za chýbajúce cifry musíme doplniť také dve cifry, aby ciferný súčet celého čísla bol deliteľný 9timi a teda sa rovnal 9 alebo 18. Vieme, že 1+1 = 2 a pomocou dvoch cifier získame maximálne 9+9 = 18, takže väčší násobok ako 18 nedosiahneme. To znamená, že súčet neznámych cifier musí byť 9-2 = \mathbf{7} alebo 18-2 = \mathbf{16}. To nám povoluje jednociferné kombinácie 0+7, 1+6, 2+5, 3+4, 7+9 a 8+8. Stále platí, že hľadané číslo je párne a teda, že cifra na mieste jednotiek bude párna. Tomuto kritériu nevyhovuje len kombinácia 7+9. Zo zvyšných kombinácií vieme vytvoriť tieto dvojciferné párne čísla: 70, 16, 52, 34 a 88, pričom len 16, 52 a 88 sú deliteľné 4mi. Po doplnení dostaneme čísla: 1116, 1152 a 1188, z ktorých sme zatiaľ nepoznali \mathbf{1152} a \mathbf{1188}.

C. 1_1_ / D. _11_
Tieto prípady sú veľmi podobné, preto ich vyriešime naraz. Vieme, že aby posledné dvojčíslie bolo deliteľné 4mi, vieme dosadiť na miesto jednotiek iba 2ku alebo 6ku, kvôli jednotke umiestnenej na mieste desiatok. Následne stačí dopočítať chýbajúcu cifru tak, aby ciferný súčet sa rovnal 9 (tentoraz väčší násobok 9ky nie je možný). Dostaneme čísla: (C.) 1512, 1116, (D.) 5112 a 1116, z ktorých sme zatiaľ nepoznali \mathbf{1512} a \mathbf{5112}.

Odpoveď: Našli sme 5 čísel, ktoré vyhovujú podmienkam zo zadania. Sú to čísla \mathbf{1116}, \mathbf{1152}, \mathbf{1188}, \mathbf{1512} a \mathbf{5112}.

Komentár