Kategórie:
5
6

Zadanie

Logo Knižnice je samozrejme priestorové. Je to kocka, ktorá je zložená zo šiestich pravidelných štvorbokých ihlanov, ktorých výška má dĺžku rovnú polovici dĺžky strany základne. Základne týchto ihlanov tvoria steny kocky - tak ako je znázornené na obrázku: Avšak toto logo má viacero farebných variácii. Každý ihlan je celý zafarbený jednou zo štyroch farieb. Keď sa z ihlanov poskladá kocka, tak platí, že ihlany rovnakej farby sa nedotýkajú stenou. Koľko rozličných ofarbení môže mať kocka z vonku? Kocku samozrejme vieme otáčať a teda ofarbenia, ktoré sa dajú na seba otočiť sú zhodné.

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, Oliver, pajty

Keďže každý ihlan je zafarbený celý jednou farbou, tak každý ihlan určuje farbu jednej zo stien kocky (napr. ak je podstavný ihlan červený tak dolná stena bude tiež červená). Ak sa pozrieme na kocku, rovnaké farby nemôžu byť na stranách dotýkajúcich sa hranami, lebo by sa ihlany rovnakej farby navzájom dotýkali jednou z bočných stien. Každý ihlan sa týmito bočnými stenami teda dotýka ďalších 4 ihlanov (každá stena kocky sa hranou dotýka ďalších 4 stien) a jedným bodom sa dotýka ihlanu oproti, tie však podľa zadania môžu byť rovnakej farby. Rovnaká farba teda môže byť iba na stranách kocky oproti sebe.

To znamená, že nevieme použiť iba jednu farbu lebo by sme zafarbili nanajvýš dve steny. Takisto nevieme zafarbiť kocku ani dvomi farbami lebo by sme zafarbili najviac 2\cdot2=4 steny.

Najmenší počet farieb, koľkými môžeme zafarbiť kocku, je teda 3. Ak už si nejaké tri farby zvolíme, je iba jedna možnosť, ako nimi ofarbiť kocku. Prvou farbou ofarbíme ľubovoľné protiľahlé strany, povedzme hornú a dolnú. Druhou jednu zo zvyšných dvojíc, no je jedno ktorú, keďže jednoduchým otočením kocky podľa zvislej osi vieme dosiahnuť druhú možnosť. Na poslednú farbu nám už ostali voľné len dve strany, a teda nemáme na výber. No a tri farby vieme zvoliť štyrmi spôsobmi, vždy jednu zo 4 farieb nepoužijeme. Preto sú \mathit{4} možnosti ofarbenia kocky iba tromi farbami.

Predná Zadná Pravá Ľavá Spodná Horná
1. možnosť červená červená zelená zelená oranžová oranžová
2. možnosť červená červená zelená zelená fialová fialová
3. možnosť červená červená oranžová oranžová fialová fialová
4. možnosť zelená zelená oranžová oranžová fialová fialová

Teraz potrebujeme spočítať možnosti, kde použijeme všetky 4 farby. Musíme pritom však dodržať pravidlo, že rovnaké farby môžu byť iba oproti sebe. To vieme splniť jedine tak, že dvakrát použijeme farbu na dvojicu steny oproti sebe a na zvyšné dve steny dáme zvyšné \mathit{2} farby. Toto vieme dosiahnuť tak, že v našich trojfarebných riešeniach jednu zo stien prefarbíme na farbu, ktorú tam nepoužívame. Takto pre každe zo štyroch riešení dostaneme 3 nové, keďže nám nezáleží na tom, ktorú z dvoch protiľahlých stien prefarbíme. Je to tak preto, lebo druhú možnosť vieme jednoducho dosiahnuť prevrátením kocky. Naše ofarbenia budú teda takéto (na pomenovaní stien resp. otočení kocky nezáleží):

1. možnosť Predná Zadná Pravá Ľavá Spodná Horná
A možnosť červená červená zelená zelená oranžová fialová
B možnosť červená červená zelená fialová oranžová oranžová
C možnosť červená fialová zelená zelená oranžová oranžová
2. možnosť Predná Zadná Pravá Ľavá Spodná Horná
A možnosť červená červená zelená zelená fialová oranžová
B možnosť červená červená zelená oranžová fialová fialová
C možnosť červená oranžová zelená zelená fialová fialová
3. možnosť Predná Zadná Pravá Ľavá Spodná Horná
A možnosť červená červená oranžová oranžová fialová zelená
B možnosť červená červená oranžová zelená fialová fialová
C možnosť červená zelená zelená zelená oranžová oranžová
4. možnosť Predná Zadná Pravá Ľavá Spodná Horná
A možnosť zelená zelená oranžová oranžová fialová červená
B možnosť zelená zelená oranžová červená fialová fialová
C možnosť zelená červená oranžová oranžová fialová fialová

Nakoniec si ale ešte treba všimnúť, že niektorými prefarbeniami môžem dostať rovnaké ofarbenie kocky. Konkrétne, keď máme napríklad kocku, ktorá má zeleno-fialovú dvojicu stien oproti sebe, dostať sme ju mohli, buď prefarbením jednej zelenej steny na fialovú, alebo jednej fialovej na zelenú. Rovnako bude platiť pre každé ofarbenie štyrmi farbami to, že ho vieme dostať dvoma spôsobmi. Preto z dvanástich ofarbení v tabuľke nájdeme iba 6 rôznych.

Kocka teda dokopy teda dokopy môže mať 4+6~{=}\mathit{10} ofarbení zvonku.