10. príklad - Vzorové riešenie

Na obrázkoch vidíme rozdelenie trojuholníka pre n postupne 4,\, 6,\, 8. Nie je náročné uvedomiť si, že keď máme dve rozdelenia rovnostranného trojuholníka na a a b častí, tak vieme vyrobiť rozdelenie na a+b-1 častí. Na nasledovnom obrázku je ilustované ako presne:

Jednoducho vezmeme nejaký z menších rovnostranných trojubolníkov v rozdelení na b častí a vpíšeme do neho rozdelenie pre a častí. Takto dostaneme rozdelenie na a+b-1 častí, lebo b-1 trojuholníkov sme nezmenili a jeden sme rozdelili na a častí. Keďže vieme získať rozdelenia na 4,6,8 častí, tak vieme získať aj všetky rozdelenia tvaru 4+3k_1,\, 6+3k_2,\, 8+3k_3 pre prirodzené čísla k_1,\, k_2,\, k_3. Stačí vždy skombinovať rozdelenie na b častí s rozdelením na 4 časti čím získame rozdelenie na b+3 časti.

Každé prirodzené číslo okrem čísel 2,\, 3,\, 5 vieme zapísať ako n+3k pre n \in \{4,6,8\} a nezáporné celé číslo k. Chceli sme teda dokázať, že rovnostranný trojuholník nejde rozdeliť na 2,\, 3 alebo 5 častí. Nech delíme rovnostranný trojuholník hociako, tak vždy bude mať vo svojich vrcholoch tri rovnostranné trojuholníky. Dá sa na to pozerať tak, že je iba jedna možnosť, ako môže byť vrchol pôvodného rovnostranného trojuholníka zároveň vrcholom nejakého trojuholníka v rozdelení a musí nastať delenie, teda každý vrchol pôvodného trojuholníka musí byť vrcholom iného rovnostranného trojuholníka v rozdelení.

Tento obrázok ilustruje situáciu popísanú vyššie, ktorá nastane v každom jednom rozdelení. Vidíme, že je nutné aby malo každé rozdelenie aspoň 4 časti, teda nevieme rozdeliť rovnostanný trojuholník na 2 ani 3 menšie rovnostranné trojuholníky. Teraz ostáva už len prípad n = 5. Pre jednoduchosť časť rozdelenia neobsahujúcu tri trojuholníky pri vrcholoch pôvodného trojuholníka nazvime Stredná časť.

• Ak je obvod Strednej časti päť- alebo šesťuholník, tak ju nevieme rozdeliť na dva trojuholníky, teda ani na dva rovnostranné trojuholníky.
• Ak je Stredná časť štvoruholník, tak musí ísť o lichobežník. To preto, lebo jediný spôsob, ako vieme znížiť počet vrcholov na obvode Strednej časti, je zrušiť stranu medzi nejakými dvoma vrcholmi. To docielime tým, že sa nejaké trojuholníky pri vrcholoch pôvodného začnú dotýkať a teda pokryjú celú stranu. Príklad môžeme vidieť na nasledovnom obrázku: Vyjde lichobežník, keďže strany trojuholníkov pri vrcholoch pôvodného trojuholníka sú rovnobežné so stranami pôvodného trojuholníka. Jediný problém však je, že jediný štvoruholník, ktorí sa dá rozdeliť na dva rovnostranné trojuholníky je kosoštvorec s uhlami pri vrcholoch veľkými 60^\circ,120^\circ,60^\circ, 120^\circ, kým náš lichobežník bude mať uhly 60^\circ vedľa seba.
• Ak je Stredná časť trojuholník, tak musí ísť o rovnostranný trojuholník. Stany tohto trojuholníka totiž musia byť rovnobežné so stranami pôvodného trojuholníka, ktorí sme začali deliť. Rovnostranný trojuholník však nejde rozdeliť na dve časti, teda sme hotoví.