Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Vzor dlaždíc vyzerá asi takto: Má tvar obdĺžnika ABCD, kde je na strane CD vyznačený bod X rôzny od bodov C a D. Cez bod C je vedená rovnobežka s priamkou AX, ktorá pretína priamku AD v bode Y. Určte pomer obsahov trojuholníkov XDY a ABX.

Vzorové riešenie

Opravovali: MartinŠ, havos, mišo

Zaujímajú nás dva trojuholníky — ABX a DYX. Skúsme si teda vyjadriť ich obsahy. Trojuholník ABX je jednoduchý, jeho základňa je AB, ktorej dĺžku označíme a a miesto výšky vieme použiť ďalšiu stranu obdĺžnika - BC, s dĺžkou b. Obsah tak vyadríme ako \frac{1}{2}ab, čo je polovica obsahu obdĺžnika.

Druhý trojuholník — DYX — je pravouhlý, keďže \measuredangle XDY je zároveň uhlom obdĺžnika. Obsah tak vieme vyjadriť ako \frac{1}{2} |DX| \cdot |DY|. Radi by sme však zistili, ako vyzerá tento obsah vzhľadom k obdĺžniku zo zadania. O trojuholníku ABX už vieme, že je jeho polovicou.

Zamerajme sa teraz na poslednú vlstnosť zo zadania, ktorú sme ešte nepoužili — rovnobežnosť AX a CY. Vidíme, že uhly \measuredangle DCY a \measuredangle DXA sú súhlasné a teda rovnako veľké. To isté sa dá povedať aj o uhloch \measuredangle DYC a DAX. Takže trojuholníky DAX a DYC sú podobné podľa vety uu.

Podobnosť nám okrem iného vraví, že existuje koeficient podobnosti, ktorý označuje pomer dĺžok medzi jednotlivými útvarmi. PRe naše trojuholníky si ho označme k. Platí:

|DC| = k \cdot |DX|,\\ |DY| = k \cdot |DA|.

Odtiaľ vieme vjadriť k:

k = \dfrac{|DC|}{|DX|} = \dfrac{|DY|}{|DA|} \\ \dfrac{a}{|DX|} = \dfrac{|DY|}{b} \\ ab = |DX| \cdot |DY|

Najprv sme využili a = |DC|,\, b = |DA| a následne sme vynásobili rovnicu b|DX|. Keď už vieme, že |DX| \cdot |DY| = ab, vieme obsah DYX vyjadriť ako \frac{1}{2} ab. Trojuholníky ABX a DYX majú rovnaký obsah.

Odpoveď: Pomer obsahov trojuholníkov ABX a DYX je 1:1.

Iné riešenie (bez podobnosti)

Na začiatok si podobne ako v predošlom riešení vyjadrime obsah trojuholníka ABX. Ten je \frac{1}{2} ab, teda polovica obsahu zadaného obdĺžnika. Z rôznych obrázkov vyzerá, že obsah DYX by mohol byť rovnaký, tak sa pokúsme dokázať to.

Pozrime sa na trojuholník ACD. Strana AC je uhlopriečkou zadaného obdĺžnika, takže ho delí na polovicu. Zároveň si môžeme všimnúť, že celý jeho obsah sa nachádza vnútri trojuholníka DYC, rovnako ako trojuholník DYX. Keď sme si tot všetko všimli nastáva čas využiť rovnobežnosť AX a CY.

Vyššie spomínaný trojuholník DYC vieme rozdeliť na ACD a YCA, alebo na DYX a YCX. Platí:

S_{DYC} = S_{ACD} + S_{YCA} = S_{DYX} + S_{YCX} \\ S_{ACD} - S_{DYX} = S_{YCX} - S_{YCA}

Vidíme teda, že ak majú trojuholníky YCX a YCA rovnaký obsah, majú rovnaký obsah aj DYX a ACD a teda aj ABX.

My vieme, že YC a AX sú rovnobežné. Kolmica z ľubovoľného bodu priamky AC na YC tak bude mať rovnakú dĺžku. Trojuholníky YCX a YCA tak majú okrem spoločnej základne YC aj rovnakú výšku a teda rovnaký obsah. Ako teda už vieme, majú rovnaký obsah aj DYX a ACD. Ten je polovicou obsahu zadaného obdĺžnika, takže rovnaký obsah má i ABX.

Odpoveď: Pomer obsahov trojuholníkov ABX a DYX je 1:1.

Komentár

Väčšina z vás riešila príklad prvým spôsobom a naozaj ste ho viacerí zvládli veľmi pekne. Najčastejšie chyby boli v chýbajúcom vysvetlení, prečo sú trojuholníky podobné. Tu sme vyžadovali prepojiť nejak túto podobnosť s rovnobežnosťou zo zadania, čo ste niektorí nespravili a strácali ste tak bod. Väčšie straty boli často spôsobené chybami v postupe, keď ste sa potrebné vlastnosti dĺžok DX a DY snažili vysvetliť bez podobnosti, väčšinou nesprávne. Existovali viaceré postupy, ktoré nevyžadovali túto vlastnosť (nielen ten vyššie), no tie neboli až tak priamočiare a vyskytovali sa zriedka. Pokiaľ však boli správne, dostali 10 bodov.