Odporúčaný článok

Presun Riešky výletu - Ahojte, milí riešitelia! Veríme, že rovnako ako my s tešíte na výlet, ktorý mal byť už túto nedeľu. Bohužiaľ z dôvodu predpokladaného nepriaznivého počasia sme sa rozhodli výlet o týždeň … Prejsť na článok

×

6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Kód od brány je štvorciferné číslo. Kompas o ňom povedal, že:
  1. Je deliteľné číslom 13.
  2. Jeho prvé aj posledné dvojčíslie sú dvojciferné prvočísla.
  3. Ak sčítame prvé a posledné dvojčíslie, dostaneme druhú mocninou nejakého celého čísla.
  4. Cifra na mieste stoviek je o 4 menšia ako najväčšia cifra (alebo cifry).
  5. Ciferný súčin je deliteľný číslom 49.
Zistite, aký je kód od brány.

Poznámka: Druhú mocninu čísla dostaneme tak, že dané číslo vynásobíme sebou samým.
Poznámka 2: Ciferný súčin čísla dostaneme tak, že postupne vynásobíme všetky jeho cifry.

Vzorové riešenie

Opravovali: Imro, JozefB, Miňo, elusq

Označme si hľadaný kód ABCD, kde A, B, C, D sú jeho cifry.

Najprv sa zameriame na 5. podmienku, teda ciferný súčet nášho čísla má byť deliteľný 49.
To znamená, že tento súčin bude 0, alebo väčší násobok 49, takže hľadaný kód bude obsahovať cifru 0 alebo dve cifry 7.

Pozrime sa na to, či v čísle môže byť nejaká cifra 0. Podľa 2. podmienky prvé aj posledné dvojčíslie musia byť dvojcifernými prvočíslami, teda A ani C nemôžu byť nula. Keby B alebo D boli 0, tak takéto číslo by bolo určite násobkom 10, teda by nebolo prvočíslo. Dostávame tak, že v čísle ABCD nemôžu byť nulové cifry.
Takže v čísle musia byť aspoň dve cifry 7. Opäť sa pozrime na 2. podmienku. Keďže 77 nie je prvočíslo (lebo 11 \cdot 7 = 77), tak dvojčíslia AB a CD môžu obsahovať najviac jednu cifru 7. A keďže v čísle ABCD majú byť dve cifry 7, tak bude každé toto dvojčíslie obsahovať práve jednu.

Teraz sa pozrime na 4. podmienku.
Ak by číslo ABCD obsahovalo cifru 9, cifra B by musela byť 5, čo ale je v rozpore s 2. podmienkou, lebo čísla zakončené na 5 sú deliteľné 5. Preto najväčšia cifra nebude 9.
Podobne ak by najväčšia cifra bola 8, tak by B muselo byť 4, čo je opäť v rozpore z podobného dôvodu. Keďže vieme, že číslo ABCD bude obsahovať cifru 7, tak bude najväčšia a dostávame, že B=3. Ako sme spomínali vyššie, dvojčíslie AB musí obsahovať práve jednu 7, teda A=7. Číslo 73 je prvočíslom, teda spĺňa druhú podmienku.

Ešte nám ostala 3. podmienka.
Najmenšie dvojciferné číslo je 10, najväčšie je 99. Teda súčet prvého dvojčíslia, ktoré je 73, a posledného dvojčíslia bude niekde medzi 83 a 172. Druhé mocniny celého čísla v tomto rozsahu sú 100, 121, 144 a 169. Keďže dvojciferné prvočísla sú nepárne a súčet dvoch nepárnych čísel je párny, do úvahy prichádzajú iba 100 a 144. Sú teda dve možnosti:

  • ak 73+CD=100, CD=27, ale 27 nie je prvočíslo,
  • ak 73+CD=144, CD=71 a 71 je prvočíslo.

Ako posledná nám ostala 1. podmienka, ktorú nesmieme zabudnúť overiť. 7371:13 = 567, zvyšok 0. Číslo ABCD je deliteľné 13.

Overili sme všetky podmienky a vylúčili iné možnosti riešenia.

Odpoveď: Kód od brány je 7371.

Komentár:

Veľa z vás zabudlo na to, že aj 0 je deliteľné 49, niektorí ste zase predpokladali, že číslo obsahuje práve dve cifry 7. Tým sa vám mohlo stať, že vynecháte nejaké riešenia príkladu.