2. príklad - Vzorové riešenie

Súčtom spomínaných 3 zaokrúhlených čísel má byť 4-ciferné číslo 5730. Z toho vyplýva, že žiadny zo sčítancov nemôže byť 5-ciferný. Aj 3-ciferné čísla môžeme vylúčiť, pretože ani najväčšie 3-ciferné číslo sa v súčte pri našom spôsobe zaokrúhlovania nevyšplhá na 5730.

999 \Rightarrow 1000 + 1000 + 1000 = 3000 < 5730

Vďaka tomu môžeme využiť grafický zápis sčítania čísel pod sebou a pre jednotlivé cifry si zadefinujeme nasledovné:

1. Cifry čísla, ktoré bolo zaokrúhlené na desiatky si označíme ako A,\,B,\,C a 0 (keďže je zaokrúhlené na desiatky, posledná cifra bude určite práve 0).
2. Cifry čísla zaokrúhleného na stovky označíme D,\,E,\,0,\,0 (zase, posledné dve cifry musia byť 0 keďže hovoríme o čísle zaokrúhlenom na stovky).
3. Cifry čísla zaokrúhleného na tisícky označíme F,\,0,\,0,\,0.

Teraz sa pozrieme, aké čísla by sme vedeli doplniť za A,\,B,\,C,\,D,\,E a F, s tým, že budeme používať pravidlá sčítania čísel pod sebou. Vidíme, že pri sčítaní posledných cifier sčítancov dostaneme 0 a nezostane nám nič na prenos do ďalšieho rádu. To znamená, že C + 0 + 0 \left(+0\right) = C je číslo, ktoré končí cifrou 3. Keďže C sa môže skladať iba z jednej cifry, musí ísť o cifru 3.
Vidíme teda, že

Na mieste stoviek je to ale trochu komplikovanejšie, súčet cifier B a E totiž môže byť 7, ale aj 17, aby sme si stále mohli podpísať pod ne cifru 7 v čísle 5730. Väčšie čísla končiace na 7čku nemá zmysel zvažovať, lebo väčší súčet ako 18 súčtom dvoch cifier nedosiahneme. Okrem toho medzi ciframi B a E musí platiť vzťah, že B sa zaokrúhli nahor skrz zaokrúhľovanie na stovky na cifru E alebo v prípade cifry 9 na číslo 10 a teda na 0, s tým, že v takom prípade ovplyvní aj miesta tisícok (D a F). Tento špeciálny prípad, ale môžeme vylúčiť, lebo ak B = 9 a E = 0, tak B+E nekončí na cifru 7. Preto môžeme bezpečne tvrdiť, že vďaka zaokrúhlovaniu platí E = B + 1.
Zvažujeme teda dve možnosti pre B a E:

Presuňme sa teda do rádov tisícov. V oboch prípadoch nemôžeme pri sčítaní tisícok \left(A + D + F + prenos\right) prenášať do ďalšieho rádu žiadne jednotky, pretože výsledok končí v ráde tisícov, konkrétne cifrou 5. Z toho vieme jednoznačne tvrdiť, že A = 1, pretože ak by A bolo väčšie, tak aj D a F by boli aspoň tak veľké a \left(2+\right) + \left(2+\right) + \left(2+\right) \geq 6 > 5. Ak A = 1, tak D = 1 a F = 2, pretože pri zaokrúhlení na tisícky sa musí zvýšiť o 1.

Tu je vidieť, že jediná možnosť pre B a E je 8 a 9, pretože inak by nám nesedel súčet v ráde tisícov, kde nám chýba 1 do súčtu 5.

Ako vidíme, všetky súčty sedia a už nám ostáva len zistiť pôvodné číslo. Sčítanec 1830 je najbližšie pôvodnému číslu, pretože je zaokrúhlený iba na desiatky a zároveň vieme, že žiadna, teda ani posledná cifra pôvodného čísla nie je 0. Keďže je pravidlom, že zaokrúhľujeme vždy nahor, cifra na mieste desiatok bude 3 - 1 = 2. Aká môže byť posledná cifra?

Odpoveď: Tu sa vyskytli medzi riešeniami rôzne výklady zadania. Niektorí pochopili to, že posledná cifra je najmenšia tak, že je menšia ako všetky ostatné. Vtedy keďže je prvá cifra 1, posledná cifra by musela byť 0, čo zo zadania nemôže byť, úloha teda nemá riešenie.
Druhou možnosťou je, že nesmie byť v čísle cifra menšia ako tá posledná, vtedy existuje riešenie práve jedno a to 1821. Pre nejasnosť zadania sme uznávali oba výsledky.

Komentár

Poslednú časť príkladu, teda určenie poslednej cifry pochopili riešitelia veľmi rôzne. Častou chybou bola kombinácia dvoch spôsobov spomenutých v riešení. Po doplnení cifry 2 na miesto desiatok povedali, že posledná cifra musí byť menšia, teda 1. Keď neskôr ukázali že prvá cifra je 1, neoverili či je posledná stále menšia ako nová najmenšia.
Pokiaľ sme úlohu riešili tak že posledná cifra musí byť menšia ako všetky ostatné, stačilo sa dopracovať k tomu že prvá cifra pôvodného čísla musí byť 1 a tým pádom úloha nemá riešenie.

Druhou chybou, ktorú stojí za to spomenúť, je možnosť cifry 9 v pôvodnom čísle. Tá, ako je ukázané vyššie v riešení, vie totiž niekedy robiť nepredvídateľné veci. Niektoré postupy túto úvahu nepotrebovali, v niektorých chýbala.