9. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Chlapec napísal na kameň dve jednotky a za ne dopísal ich súčet. Potom na ďalšie miesto napísal rozdiel predchádzajúcich dvoch čísel. Takto dopisoval na striedačku súčet a rozdiel predchádzajúcich dvoch čísel. Potom zoškrabal každé druhé číslo. Pomôžte našim dobrodruhom a dokážte, že každé nezoškrabané číslo, okrem prvých dvoch, je súčtom dvoch predchádzajúcich nezoškrabaných čísel.

Vzorové riešenie

Opravovali: Teri, merlin, šálka

Pôvodná postupnosť zo zadania vyzerá nasledovne:

1,\, 1,\, 2,\, 1,\, 3,\, 2,\, 5,\, 3,\, 8,\, 5,\, 13,\, 8,\, \ldots

Vieme, že členy postupnosti, ktoré vzniknú sčítaním dvoch predchádzajúcich členov a tie ktoré vzniknú odčítaním dvoch predchádzajúcich členov sa striedajú. Z toho vyplýva, že každý člen postupnosti, ktorý sa nachádza na nepárnej pozícií, vznikol sčítaním dvoch predchádzajúcich členov, a každý člen postupnosti, ktorý sa nachádza na párnej pozícií, vznikol odčítaním dvoch predchádzajúcich členov. Toto samozrejme neplatí pre prvé dva členy postupnosti, keďže tie pred sebou nemajú dva iné členy.

Označme si potom člen postupnosti na nejakej nepárnej pozícii (2k+1) ako x. Člen, ktorý bude nasledovať hneď po ňom si označme ako y. Potom vieme, že nasledujúci člen je rovný výrazu x+y, keďže má ako člen na nepárnej pozícií tvar súčtu dvoch predchádzajúcich členov. Ďalší člen je zas rovný výrazu (x+y)-y=x, keďže je ako člen na párnej pozícií rozdielom dvoch predchádzajúcich členov. A nakoniec (2k+5)-ty člen je rovný výrazu (x+y)+x=2x+y, keďže je ako člen na nepárnej pozícií súčtom dvoch predchádzajúcich členov.

Čiže týchto 5 členov nasleduje za sebou takto:

x, y, (x+y), x, (2x+y)

Po vyškrtnutí každého druhého člena nám zostanú len členy na nepárnych pozíciach. To sú v našom prípade x, (x+y), (2x+y). Vidíme, že keď sčítame prvý z nich s druhým, tak dostaneme tretí člen, lebo x+(x+y)=(2x+y). Zistili sme teda, že tretí člen je naozaj súčtom dvoch predchádzajúcich členov. Teda podmienka zo zadania, že po vyškrtnutí všetkých členov na párnych pozíciach dostaneme novú postupnosť, v ktorej bude každý člen súčtom dvoch predchádzajúcich členov, platí pre túto päticu členov od (2k+1)-vého členu po (2k+5)-ty člen.

Za k si pri našich piatich členoch vieme zvoliť ľubovoľné nezáporné celé číslo, a tak platí podmienka zo zadania pre všetky pätice členov v pôvodnej postupnosti a teda i pre celú postupnosť. Tým sme i ukončili dôkaz tejto úlohy.