Odporúčaný článok

Adventný Logboj - Adventný Logboj je individuálna súťaž v riešení logických úloh, v ktorej môžu súťažiť základoškoláci, stredoškoláci aj starší. Na stránke súťaže bude každý decembrový deň až do vianoc sprístupnená jedna úloha, … Prejsť na článok

×

6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Všetci traja dostali pridelené po jednom prirodzenom čísle. Vieme, že platí:
  • Najväčší spoločný deliteľ Michardovho čísla a Vikielovho čísla je 15.
  • Najväčší spoločný deliteľ Vikielovho čísla a Eninho čísla je 6.
  • Súčin Vikielovho čísla a Eninho čísla je 1 800.
  • Najmenší spoločný násobok Michardovho čísla a Vikielovho čísla je 3 150.
Určte Michardovo, Vikielovo a Enino číslo.

Vzorové riešenie

Opravovali: Qwedux, merlin, šálka

Označme najmenší spoločný násobok čísel A,\, B ako \text{NSN}(A,B) a ich najväčší spoločný deliteľ \text{NSD}(A,B). Keď \text{NSD}(A,B) = C, tak vieme povedať že číslo C delí čísla A,B, nakoľko C je ich spoločným deliteľom. Michardovo číslo označíme M, Vikielovo číslo označíme V a Enino číslo označíme E. Dostávame:

\begin{aligned} M &= 3\cdot 5\cdot m\\ V &= 2\cdot 3\cdot 5 \cdot v\\ E &= 2\cdot 3\cdot e \end{aligned}

Keď sa pozrieme na podmienku E\cdot V = 1800, tak zistíme, že musí platiť e \cdot v = 10 = 2\cdot 5. Pozrime sa na to, kam môže táto dvojka a päťka ísť.

Ak by dvojka išla do v, tak V je aspoň 60. To je však problém, lebo 60 nedelí 3150, teda neplatí podmienka pre \text{NSN}(M,V). Z toho vieme, že dvojka musí patriť do e.

Ak by päťka išla do e, tak E je aspoň 30. Potom by však \text{NSD}(E,V) bolo aspoň 30, keďže E,V sú deliteľné 30. Preto 5 patrí do v a teda vieme určiť čísla E,V:

\begin{aligned} M &= 3\cdot 5\cdot m\\ V &= 2\cdot 3\cdot 5 \cdot 5 = 150\\ E &= 2\cdot 2 \cdot 3 = 12 \end{aligned}

Žiadne ďalšie možnosti na E,V nemáme, lebo sme ich určili jednoznačne a ani na M, pretože M môže obsahovať iba prvočísla 2,3,5,7 aby bol \text(M,V) rovný 3150, ale pre každé z týchto prvočísel sme povedali koľko krát môžu byť v M.

Už len zostáva zistiť M. Z podmienky \text{NSD}(M,V) = 15 vyplíva že 5 delí M práve raz, teda nemôže sa stať, že 25 delí M, lebo potom by bol väčší spoločný deliteľ. Z rovnakého dôvodu 2 nedelí M. Zároveň z podmienky \text{NSN}(M,V) = \text{NSN}(M,150) = 3150 = 2\cdot 7 \cdot 9 \cdot 25 máme, že 7,9 musia deliť M, keďže nedelia 150. Naše čísla teda sú:

\begin{aligned} M &= 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 315\\ V &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 150\\ E &= 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12 \end{aligned}

Žiadne ďalšie riešenia nie sú, lebo M môže z podmienky o najmenšom spoločnom násobku obsahovať iba prvočísla 2,3,5,7, ale pre každé sme určili, koľko krát musí byť v M. E,V sú určené jednoznačne, teda sme prišli k jedinému možnému výsledku. Dosadením čísel do podmienok si môžte overiť, že toto riešenie naozaj funguje.

Komentár

Veľa z vás malo problém s tým ako sa používa najmenší spoločný násobok alebo najväčší spoločný deliteľ. Vieme že v súčasnej situácií nie každá škola ide podľa rovnakých osnov, preto ak máte akékoľvek nejasnosti k zadaniam, tak nám môžte napísať na zadania@riesky.sk alebo do komentára k príkladu priamo na stránke.

Taktiež si treba dať pozor na to, aby ste zdôvodnili to čo naozaj treba. Nezáleží na tom, koľko budete rozoberať možností, keď potom preskočíte tri kroky a nič k nim nenapíšete.