4. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Heslom je nejaké trojciferné prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné číslom 6 a v ktorom môžeme vyškrtnúť ktorúkoľvek cifru a vždy dostaneme dvojciferné prirodzené číslo, ktoré je tiež bezo zvyšku deliteľné číslom 6. Keďže ale Michard nevedel, ktoré z týchto trojciferných prirodzených čísel bude heslo, tak ich našiel všetky. Nájdite ich aj vy.

Vzorové riešenie

Opravovali: JozefB, Miňo, Prutky, lámač

Označme si číslo zo zadania ako ABC, kde jedno písmeno je jedna cifra hesla. Keď škrtneme cifru A, tak dostaneme číslo BC. Keď škrtneme cifru B, tak dostaneme číslo AC. Keď škrtneme cifru C, tak dostaneme číslo AB. Zo zadania vieme, že čísla ABC,\, AB,\, AC a BC sú deliteľné 6.

Číslo je deliteľné 6, ak jeho posledná cifra je deliteľná dvomi a jeho ciferný súčet je deliteľný 3. Čísla ABC,\, AC a BC končia cifrou C a číslo AB končí cifrou B. Preto cifry B a C musia byť párne.

Na to, aby bolo číslo AB deliteľné 3, tak musí mať súčet cifier deliteľný tromi. To isté platí aj o čísle ABC. Vieme, že A + B = číslo deliteľné tromi (označíme si ho k), rovnako ako A + B + C = iné číslo deliteľné tromi (označíme si ho m). Z vyjadrení k,\, m vieme, že m = k + C. Keďže aj k a m sú deliteľné tromi, tak C musí byť tiež deliteľné tromi. Prečo? Lebo ak sčítame číslo deliteľné tromi s číslom nedeliteľným tromi, tak aj výsledné číslo nebude deliteľné tromi. Podobne vieme ukázať, že A aj B musia byť deliteľné tromi.

Vieme, že dvojciferné ani trojciferné číslo nezačína cifrou 0, inak by bolo jednociferné, respektíve dvojciferné. Povedzme, že druhá cifra pôvodného čísla zo zadania je 0, ako napríklad v čísle 306. Vyškrtnutím prvej cifry 3 dostaneme číslo 06, čo zjavne nie je dvojciferné číslo. Preto 0 nemôže byť prvá ani druhá cifra, teda ani A ani B.

Vieme teda, že:

  • Všetky cifry musia byť deliteľné tromi.
  • Posledné dve cifry (B,\, C) sú párne.
  • Prvé dve cifry (A,\, B) nesmú byť 0.
Z toho vieme zistiť, že:
  • A musí byť jedno z čísel 3,\, 6,\, 9,
  • B musí byť 6,
  • C musí byť buď 0 alebo 6.

Pre každú cifru A existuje jedna možnosť pre cifru B a dve možnosti pre cifru C. Preto je 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6 možností pre heslo. Týmito možnosťami sú čísla \mathbf{360,\, 366,\, 660,\, 666,\, 960,\, 966}.