9. príklad - Vzorové riešenie

Najprv si na obrázku vyznačíme uhly. Môžeme si všimnúť, že keď obrázok otáčame o 90 stupňov a preklápame, zostáva rovnaký. To znamená, že všetky modré a všetky zelené uhly na obrázku sú rovnaké.

Obsah hviezdy vieme vypočítať tak, že od obsahu celého štvorca odčítame obsah tých 8 nevyfarbených trojuholníkov. Pozrime sa na jeden z nich, označený AEX.

Trojuholníky AEX a BHA majú oba jeden zelený a jeden modrý uhol, čo znamená, že sú podobné. Tretí uhol teda tiež majú rovnaký, čiže uhol AXE je pravý. Vďaka tomu tiež vieme, že tieto trojuholníky majú rovnaký pomer strán, teda \frac{|AX|}{|XE|}=\frac{|AB|}{|AH|}. Dosadíme dĺžky ktoré poznáme, |AB|=1\,\text{m} a |AH|=\frac{1}{2}\,\text{m}, z čoho po úprave dostávame |AX|=2|XE|. Označme dĺžku |XE|=x, potom |AX|=2x. Teraz použijeme pytagorovu vetu v trojuholníku AEX a vyjadríme x:

x^2+(2x)^2=|AE|^2 \\ 5x^2=|AE|^2 \\ x=\sqrt{\dfrac{|AE|^2}{5}}=\dfrac{|AE|}{\sqrt{5}}

Dosadíme hodnotu |AE|=\frac{1}{2}\,\text{m}, ktorú poznáme a dostávame:

x = \dfrac{1}{2\sqrt{5}} \, \text{m}

Obsah pravouhlého trojuholníka už vieme zrátať jednoducho ako

S=\dfrac{|AX|\cdot |XE|}{2}=\dfrac{x\cdot(2x)}{2}=x^2=(\dfrac{1}{2\sqrt{5}})^2=\dfrac{1}{20} \, \text{m}^2.

Obsah celého štvorca je 1\text{m}^2 a máme tam 8 trojuholníkov, ktoré musíme odčítať. Obsah hviezdy je teda

1\,\text{m}^2-8\cdot \frac{1}{20}\,\text{m}^2=\frac{20-8}{20}\,\text{m}^2=\frac{12}{20}\,\text{m}^2=\frac{3}{5}\,\text{m}^2.

Odpoveď: Obsah hviezdy je teda \frac{3}{5}\text{m}^2.