Odporúčaný článok

Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok

×

7. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Lychondražej nosil tehly medzi skladom a vrchným poschodím, ktoré sa obe nachádzali v nejakých výškach hradu. Platí, že jedno z týchto miest sa nachádza 419 schodov nad zemou, a druhé nejaký prvočíselný počet schodov nad zemou. Presne v strede medzi nimi sa nachádza miesto, kde si Lychondražej môže odpočinúť, a je zaujímavé, že sa tiež nachádza prvočíselný počet schodov nad zemou. Aké môžu byť dve neznáme prvočíselné výšky, pokiaľ vieme, že ich rozdiel nie je násobkom 6?

Vzorové riešenie

Opravovali: Imro, merlin

Najprv sa pozrieme na deliteľnosť dvoma. Všimnime si, že každé prvočíslo okrem 2 je nepárne.

Ak by sklad D alebo vrchné poschodie V bolo párne číslo, teda 2, tak stred S medzi 2 a 419 by nebolo celé číslo (lebo S=(419+2)/2). Čo znamená, že sklad ani vrchné poschodie nemôže byť 2.

Už vieme, že aj sklad aj vrchné poschodie sú nepárne čísla. Vieme, že aj S musí byť prvočíslo, čo znamená, že bude nepárne. Ak by nebolo, znamenalo by to, že sklad by bol menší ako toto párne prvočíslo. My však vieme, že jediné párne prvočíslo 2 je zároveň najmenšie prvočíslo. Keďže D je prvočíslo tak S musí byť nepárne.

Oznamče R = V-S = S-D, keďže S je stred medzi skladom a vrchný poschodím. Všimnime si, že R musí byť párne lebo V,S,D sú všetko nepárne čísla.

Prejdime na zvyšky po delení tromi. Zo zadania vieme, že R nie je deliteľné 6. Keďže sme už ukázali, že je R párne stačí nám riešiť už iba deliteľnosť 3. Číslo R môže mať po delení 3 tri rôzne zvyšky, a to 0,1,2. Teraz rozoberiem tieto prípady osobitne.

Zvyšok 0

Ako sme už zistili, R nemôže byť deliteľné 3, inak by bolo deliteľné aj 6, čo zadanie vylučuje. Preto R nemôže mať zvyšok 0.

Zvyšky 1 a 2

Ukážeme, že ak R má zvyšok 1 alebo 2 tak jedno z čísel D,S,V musí byť 3.

Nebude to vôbec ťažké. Ukážeme, že čísla V,S,D budú mať každé iný zvyšok po delení 3. Keďže zvyšky sú len tri a aj čísla sú tiež práve tri, jedno z nich bude musieť mať zvyšok 0, a teda byť deliteľné 3.

Pôjdeme na to sporom. Predpokladajme, že nejaké dve z čísel V,S,D majú rovnaký zvyšok po delení 3. Ak by rovnaký zvyšok malo V a S alebo S a V muselo by R byť deliteľné 3, čo sme už vyvrátili. Ostáva nám preveriť už len jediný prípad, a to, že V a D by mali rovaký zvyšok. Platí V-D = 2R a teda opäť by R muselo byť deliteľné 3, čo neplatí.

Ukázali sme, že jedno z čísel V,S,D má po delení 3 zvyšok 0 a teda je to násobkom čísla 3. Číslo 419 nie je násobkom 3 a my vieme, že jediné prvočíslo deliteľné 3 je práve samotná trojka. Takže jedno z čísel V,S,D je 3.

Záver

Prešli sme cez všetky zvyšky a dospeli sme k tomu, že jediná možnosť ako to môže platiť je, že jedno čísel V,S,D bude 3. Už vieme, že ani jedno z daných čísel nie je párne. Zároveň 3 je najmenšie nepárne prvočíslo. To znamená, že jediná možnosť je, že najmenšie z čisel V,S,D je 3. Keďže V>S>D lebo R \neq 0

Túto jedinú možnosť už ľahko overíme. Vieme, že D = 3 a tým pádom V = 419. Odtiaľ S = (D+V)/2 = 211 čo je prvočíslo. Tým pádom sme našli jedinú možnosť a to, že ďalšie dve prvočísla sú 3 a 211.

Komentár

Veľká časť z vás urobila tú chybu, že ste neuvažovali s možnosťou, že 419 môže byť aj sklad. To vás nalákalo vyskúšať relatívne malý počet možností a dospieť k výsledku. To však bola veľmi zjednodušená verzia tohto príkladu, a teda sme nemohli udeľovať plný počet bodov. Je však možné, že zo zadania to nebolo úplne zjavné. Preto sa nabúduce neváhajte pozrieť alebo spýtať do komentárov k zadaniu, kde padla presne takáto otázka. Tak isto veľa z vás postavilo svoje riešenie len na skúšaní možností. V príkladoch v Rieškach toto väčšinou nie je cesta a existuje oveľa krajšie riešenie.