5. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Tehly sú na seba poukladané v tvare kosoštvorca, ako na obrázku. Vrchná tehla má silu 1. Každá iná tehla má silu, ktorá je súčtom síl všetkých tehál, ktoré sa jej dotýkajú zvrchu (väčšinou sú dve, občas môže byť len jedna). Na niektoré z vyznačených miest ale môžeme naniesť čarovnú maltu, ktorá spôsobí, že oddelí dve tehly - teda sila spodnej tehly v tomto prípade bude iba súčtom síl tých tehál na nej, ktoré od nej nie sú oddelené čarovnou maltou (teda pokiaľ je celý vrch nejakej tehly natretý maltou, bude jej sila 0). Koľkými spôsobmi môžeme natrieť maltu tak, aby spodná tehla mala silu 15? A čo tak 35?

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, Prutky, repa

Ak sa nejaký čas budeme hrať s tehlami zo zadania a nejako natierať vyznačné miesta maltou, možno si všimneme, že keď natrieme napríklad červené miesto čarovnou maltou tak sa nám vždy zníži sila na spodnej tehle o 1. A môžeme overiť, že to platí bez ohľadu na to, ktoré iné miesta sú natreté. Podobne to bude fungovať aj pre zvyšné miesta, keďže v každom riadku sa nám sily iba nejak sčítavajú a rôzne miesta pre maltu sa nám nijak nebudú ovplyvňovať.
Skúsime si teraz natrieť celú vrstvu čarovnou maltou, vtedy bude sila na spodnej tehle 0, a potom nenatrieme vždy iba jedno miesto. Získame tým na spodnej tehle práve tú silu, ktorou prispieva toto miesto. Konkrétne to bude:

Červené miesto Oranžové miesto Žlté miesto Zelené miesto Tyrkysové miesto Modré miesto Fialové miesto Ružové miesto
1 4 12 18 18 12 4 1

Keď už poznáme, ktoré miesto má aký vplyv na spodnú tehlu, pokúsime sa z týchto síl poskladať hodnoty zo zadania. Vždy pôjdeme od najväčšej sily a skúsime si rozmyslieť, či ju máme použiť raz, dvakrát alebo vôbec.

Sila 15

V tomto prípade silu 18 nemôžeme použiť, lebo už samotná je väčšia ako 15.
Sily 12 nemôžeme použiť dve, lebo by sme dostali 24 - číslo väčšie ako 15. Aspoň jednu ale použiť musíme, lebo ak by sme mohli použiť iba sily 1 a 4, hoc aj obe dvakrát, tak dostaneme najviac silu 1+4+4+1=10.
K použitej sile 12 ešte musíme pridať silu 3    (15-12=3). To ale nevieme získať zo zvyšných Síl (1,  4,  4,  1) lebo sila 4 je už samotná väčšia ako 3 a dve jednotky na ňu nestačia.
Preto silu 15 na spodnej tehle dostať nevieme.

Sila 35

V tomto prípade nemôžeme silu 18 použiť 2-krát lebo by sme dostali 36, číslo väčšie ako 35. Ale aspoň jednu použiť musíme, lebo ak by sme použili iba sily 1,  4 a 12, nech aj všetky 2-krát, tak dostaneme silu najviac 1+4+12+12+4+1=34.
Ďalej silu 12 nemôžeme použiť 2-krát lebo by sme dostali 12+12+18=42 čo je väčšie ako 35. Aspoň jednu ale použiť musíme, lebo ak použijeme k sile 18 iba sily 1 a 4 tak vieme dostať najviac 1+4+18+4+1=28.
Už vieme že musíme použiť práve jednu silu 18 a práve jednu silu 12, teda nám do 35 chýba 35-12-18=5. Silu 5 vieme zo síl 1 a 4 poskladať iba jedným spôsobom a to 1+4.
Zistili sme teda, že na dosiahnutie sily 35 musíme použiť každú hodnotu sily práve raz.
Koľkými spôsobmi to vieme dosiahnuť? Ako vieme z tabuľky, pre každú silu ktorú použijeme sú dve miesta, z ktorých ju môžeme dostať, ak ich nenatrieme. Vždy si z nich jedno musíme vybrať, teda máme 4 sily a pre každú 2 možnosti, dokopy 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=\mathbf{16} rôznych kombinácií.

Odpoveď: Na spodnej tehle nevieme získať silu 15 a silu 35 vieme získať 16 spôsobmi.

Komentár

Niektoré riešenia sa pokúšali si inými spôsobmi vyjadriť spodné políčko, napríklad najprv zistiť možnosti v tehlách na riadku pod maltou, čo bolo väčšinou náročnejšie doviesť do bezchybného konca. Väčšina z vás ale zvládla zistiť nemenné sily ktorými prispievajú jednotlivé miesta k spodnej tehle. Často to ale nestačilo na plný počet bodov, pretože veľa riešiteľov nedostatočne vylúčilo všetky možnosti, ako by sme z nich mohli vyskladať 15 alebo 35 inak ako správnym spôsobom.

Bodovanie

Vo väčšine prípadov sme udeľovali 3 body za vyrátanie toho, ako každé miesto ovplyvňuje spodnú tehlu, potom 2 body za dôkaz že silu 15 nevieme dosiahnuť a 5 bodov za dôkaz že sa dá 35 poskladať iba z 1+4+12+18 a výpočet počtu riešení.