Kategórie:
5
6

Zadanie

Sandále boli veľmi drahé. \frac{7}{11} ich ceny zaplatil Lychondražej z peňazí, ktoré mal vo vreckách, zvyšné \frac{4}{11} pochádzali z jeho účtu (žiadne iné peniaze z účtu nevyberal). Týmto minul štvrtinu peňazí, ktoré mal na účte, a vo vreckách mu ostalo 99 peňazí. Pokiaľ na začiatku bol pomer peňazí v jeho vreckách ku peniazom na jeho účte 5:2, koľko stáli sandále?

Vzorové riešenie

Opravovali: Oliver, mati, pajty

Keď sa pozrieme na príklad a vidíme v ňom veľké množstvo neznámych a nejaké pomery medzi nimi, tak nás to navádza na riešenie pomocou rovníc. Dá sa to riešiť aj tak opisne, no väčšinou ide iba o slovný zápis rovností, v ktorom sa dá často ľahšie stratiť.

Tak, máme už predstavu, že príklad chceme vyriešiť pomocou rovníc. Najprv ich teda musíme zostaviť.
Základ je označiť si písmenkami veci, ktoré nepoznáme. Nevieme koľko stáli sandále, tak si ich hodnotu označme S. Nepoznáme koľko peňazí mal Lychondražej vo vreckách tak, to množstvo si označme V a nakoniec nevieme koľko peňazí mal na účte - U.

Máme 3 neznáme. Rovnice majú často takú vlastnosť, že aby sme ich vedeli vypočítať potrebujeme ich aspoň toľko, koľko je premenných. Tak sa zo zadania pokúsme zostaviť tri rovnice, v ktorých budú vystupovať naše 3 neznáme:

  1. Zaplatením \frac{4}{11} ceny sandál minul Lychondražej štvrtinu peňazí na účte, čo si vieme prepísať ako:

    \dfrac{4}{11}S=\dfrac{1}{4}U

  2. Keď Lychondražej zaplatil \frac{7}{11} ceny sandál z vreciek, tak mu v nich ostalo 99 peňazí. Potom \frac{7}{11} ceny sandál je rozdiel medzi počtom peňazí vo vreckách pred zaplatením a po zaplatení:

    \dfrac{7}{11}S=V-99

  3. Nakoniec vieme, že pomer peňazí vo vreckách a na účte bol 5:2:

    \dfrac{V}{U}=\dfrac{5}{2}

No a týmto už príklad máme takmer vypočítaný, stačí nám iba úpravou rovníc vyjadriť S. Chceme vytvoriť 1 rovnicu, kde budeme mať iba konštanty, čísla, a cenu sandál. Z tretej rovnice vieme zistiť, koľkokrát viac peňazí mal Lychondražej vo vreckách ako na účte. Po vynásobení oboch strán hodnotou U dostávame:

V=\dfrac{5}{2}U

To vieme dosadiť do 2. rovnice namiesto V:

\dfrac{7}{11}S=\dfrac{5}{2}U-99

No a z 1. rovnice vynásobením oboch strán štyrmi zistíme, koľkokrát je hodnota peňazí na účte väčšia ako hodnota sandál:

\dfrac{16}{11}S=U

To vieme dosadiť do predchádzajúcej rovnice namiesto U a dostávame hľadaný tvar:

\dfrac{7}{11}S=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{16}{11}S-99

Keď máme jednu rovnicu o jednej neznámej, tak už nás toho veľa nečaká, no aj pri tom treba mať nejaký postup, nech sa nezamotáme. Najprv je dobré roznásobením zbaviť rovnicu zlomkov, a potom dostať všetky členy, kde sa nám vyskytla neznáma na jednu stranu:

\dfrac{7}{11}S=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{16}{11}S-99

\dfrac{7}{11}S=\dfrac{40}{11}S-99

Po vynásobení 11-timi:

7\cdot S=40\cdot S-99\cdot11

99\cdot11=33\cdot S

1089=33\cdot S

1089 : 33=S

S=33

Tak, a máme výsledok.

Odpoveď: Sandále stáli 33 peňazí.