9. príklad - Vzorové riešenie

Často najjednoduchší (aspoň v matematike) spôsob, ako dokázať, že sa niečo dá spraviť, je spraviť to. Pokúsime sa teda nájsť spôsob, ako si mohli pán Peniažkový, Anka a susedia tortu rozdeliť, bez ohľadu na počet susedov.

Pre jednoduchosť sa pozrime na prípad s jedným susedom. Po chvíli skúšania zistíme, že trojica zlomkov \frac{1}{2},\, \frac{1}{3},\, \frac{1}{6} zadaniu vyhovuje. Sú každý iný, majú v čitateli jednotku a ich súčet je 1 - celá torta. Keďže možných počtov susedov je nekonečne veľa, nedokážeme takto vypísať všetky možnosti. Preto musíme nájsť nejaký všeobecný spôsob a ukázať, že dané pravidlá bude spĺňať skutočne vždy.

Zamyslime sa nad pridaním ďalšieho suseda. Jedna z možností, ako zväčšiť počet kusov o jeden, je nejaký rozdeliť na 2 menšie. Tie však musia byť rôzne veľké. Nech sú napríklad \frac{2}{3} a \frac{1}{3} pôvodného. Označme zlomok, ktorý delíme \frac{1}{x} a pozrime sa, čo dostaneme.

\displaystyle \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3x}\\[5pt] \frac{1}{x} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3x}

Všimneme si, že pokiaľ je x nepárne, náš zlomok \frac{2}{3x} nebude mať v čitateli 1, v opačnom prípade sa dvojka vykráti. Takéto delenie vieme teda použiť len na zlomok s párnym menovateľom. V situácií s jedným susedom bol najmenší kus \frac{1}{6} torty, takže by sme ju vedeli rozdeliť. Dostali by sme \frac{1}{9},\, \frac{1}{18}. Vieme teda postup zopakovať. Teraz však musíme overiť, či sa nám náhodou po niekoľkých krokoch neminú párne menovatele. Môžeme si však všimnúť, že ak je x párne, tak potom aj jeho násobok 3x je párny. Takže po delení čísla s párnym menovateľom nám vznikne nové číslo s párnym menovateľom. Vieme teda takto deliť ľubovoľne veľakrát.

Delením jedného kusu na dva menšie sa nezemní súčet jednotlivých zlomkov. Vždy teda rozdelíme celú tortu. Rovnako tak zostanú v menovateli jednotky, čo sme ukázali vyššie. Ostáva nám ešte pozrieť sa, či nejaké kusy nebudú mať rovnakú veľkosť.

Už pri druhom susedovi si všimneme, že ak by sme miesto \frac{1}{6} delili \frac{1}{2} vyššie uvedeným spôsobom, dostali by sme opakujúce sa zlomky \left(\frac{1}{3},\, \frac{1}{3},\, \frac{1}{6},\, \frac{1}{6}\right). Ak by sme však vedeli vždy rozdeliť najmenší kus, dva nové by boli menšie ako všetky ostatné. Pokiaľ boli pred delením každý kus inej veľkosti, budú aj po ňom. Napríklad \frac{1}{6} je najmenšia. Po jej rozdelení bude jeden z výsledných kusov najmenší. Po delení \frac{1}{x}, bude najmenší \frac{1}{3x}. To je zhodou okolností ten, ktorý má párny menovateľ. Pri našom delení tak vieme v každom kroku rozdeliť ten najmenší kus a budú tak aj po ňom všetky kusy rôzne.

Našli sme spôsob, ako rozdeliť koláč pre ľubovoľný počet susedov, čím sme dokázali, že sa to vždy spraviť dá.

Komentár

S príkladom ste sa poväčšinou vysporiadali dobre, aj keď vás riešilo pomenej. Bežnou chybou bolo, že ste si neoverili, či vaše delenie bude vždy spĺňať všetky podmienky zadania. Zabúdali ste hlavne na to, či budú po vašom delení zlomky rozdielne. Samotné spôsoby, ako si majú pán Peniažkový, Anka a susedia tortu rozdeliť, ste našli veľmi pekné a naozaj rôznorodé, pri každom však bolo nejaké overenie nutné.