5. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Na Medzikráľovskej Gemologickej Konferencií boli gemológovia štyroch kráľovstiev. Každý z nich mal zbierku iného druhu drahokamu. Jeden mal 8 rubínov, ďalší 10 zafírov, tretí 100 perál a posledný 5 diamantov. Každý dal na konferencií po jednom drahokame zo svojej pôvodnej zbierky každému inému gemológovi. Po konferencií mal každý gemológ drahokamy s rovnakou celkovou hodnotou. Vieme, že všetky kusy rovnakého drahokamu majú rovnakú hodnotu. Čia zbierka bola na začiatku najhodnotnejšia? Koľko drahokamov by ostatní museli mať na začiatku (svojho pôvodného druhu), aby mali ich zbierky rovnakú hodnotu pred výmenou?

Vzorové riešenie

Opravovali: JozefB, Oliver, mati

Najprv si napíšme, koľko drahokamov priniesol každý z gemológov na konferenciu:

gemológ hodnota zbierky v pôvodných drahokamoch
1. 8 rubínov
2. 10 zafírov
3. 100 perál
4. 5 diamantov

Ako prvé si treba uvedomiť, že každý gemológ dá po jednom drahokame ostatným, čiže rozdá 3 svoje drahokamy a získa od ostatných po jednom. Po konferencií teda budú zbierky gemológov vyzerať nasledovne:

gemológ rubíny zafíry perly diamanty
1. 5 1 1 1
2. 1 7 1 1
3. 1 1 97 1
4. 1 1 1 2

V zadaní sa nás pýtajú dve veci: Ktorý gemológ mal na začiatku najhodnotnejšiu zbierku? A koľko drahokamov svojho druhu by museli mať ostatní gemológovia, aby mali zbierku rovnakej hodnoty?
Chceme teda zistiť začiatočné hodnoty zbierok. K tomu potrebujeme vedieť porovnávať hodnoty jednotlivých drahokamov. Zo zadanie vieme, že po konferencií mali ich zbierky hodnotu rovnakú:

1. zbierka = 2. zbierka = 3. zbierka = 4. zbierka

5r+z+p+d = r+7z+p+d = r+z+97p+d = r+z+p+2d

Z každej zbierky môžeme odčítať drahokamy s rovnakou hodnotou a rovnosť ostane zachovaná. Odčítaním po jednom rubíne, zafíre, perle a diamante získavame:

4r = 6z = 96p = 1d

Hodnoty zbierok sa nám dobre porovnávajú, pokiaľ sú všetky v drahokamoch jedného druhu. Zvoľme si teda napríklad perly, aby nám vyšli celé čísla.

gemológ pôvodné drahokamy prevod hodnota 1 drahokamu hodnota zbierky
1. 8 rubínov 4r = 96p 1r = 24p 192p
2. 10 zafírov 6z = 96p 1z = 16p 160p
3. 100 perál 96p = 96p 1p = 1p 100p
4. 5 diamantov 1d = 96p 1d = 96p 480p

Teraz nám stačí porovnať počet perál, aby sme zistili koho zbierka je najhodnotnejšia. Najviac perál má, ako vidno vyššie, 4. gemológ. Jeho zbierka má teda najväčšiu hodnotu.

Teraz potrebujeme zistiť, koľko drahokamov by musel mať každý gemológ, aby mali všetci rovnakú hodnotu zbierky ako 4.

Zoberme si počet drahokamov s rovnakou hodnotou ako 1 diamant. Keď tento počet vynásobíme piatimi, tak dostaneme zbierku s hodnotu 5 diamantov, čo je to isté ako pôvodná zbierka 4. gemológa. Toto urobíme pre rubíny, zafíry a perly. Jednotlivé zbierky budú potom vyzerať nasledovne:

gemológ hodnota zbierky v diamantoch prevod počet drahokamov
1. 5 1d = 4r 4r \cdot 5 = 20r
2. 5 1d = 6z 6z \cdot 5 = 30z
3. 5 1d = 96p 96p \cdot 5 = 480p
4. 5 1d = 1d 1d \cdot 5 = 5d

Odpoveď: Najhodnotnejšiu zbierku mal 4. gemológ. Aby zbierky ostatných gemológov mali rovnakú hodnotu ako zbierka 4. gemológa, tak 1. gemológ by musel mať 20 rubínov, 2. gemológ by musel mať 30 zafírov a 3. gemológ by musel mať 480 perál.