10. príklad - Vzorové riešenie

Označíme α a β príslušné vnútorné uhly \triangle ABC. Pätu výšky \triangle ABC z vrchola C označíme Z. Keďže úsečka CZ je výškou trojuholníka, tak \measuredangle AZC a \measuredangle BZC sú pravé, teda trojuholníky ACZ a BCZ sú pravouhlé. Zo zadania vieme, že uhly \measuredangle QXA a \measuredangle SYB sú tiež pravé.

Keďže súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180° a vnútorné uhly \triangle ABC sú α, β a 90°, tak platí, že α+β=90°.

V tomto odseku ukážeme, že trojuholníky ACZ a QAX sú zhodné.
Vieme, že trojuholníky sú podobné, keď ich dva vnútorné uhly sú rovnako veľké (podobné podľa uu). Na to, aby boli dva trojuholníky zhodné, musia byť ešte aj odpovedajúce strany rovnako dlhé (zhodné podľa suu). Trojuholník ACZ má vnútorné uhly α, 90° a jeho tretí |\measuredangle ACZ| = 180°- α - 90°=90°-α =β. Súčet uhlov \measuredangle XAQ, \measuredangle QAC a \measuredangle CAZ bude 180°, keďže body X, A a Z ležia na priamke. Potom musí platiť |\measuredangle XAQ|=180°-| \measuredangle QAC|-|\measuredangle CAZ|=180°-90°-α=β. Trojuholník QAX má dva z vnútorných uhlov β a 90°, taktisto aj trojuholník ACZ. Keďže ale prepona oboch trojuholníkov je stranou štvorca ACPQ, ich prepony sú rovnako dlhé a teda trojuholníky sú zhodné podľa suu.

Podobne vieme ukázať, že trojuholníky CBZ a BSY sú zhodné podľa suu.

Zo zadania vieme, že |QX|=3{,}6 m, keďže trojuholníky ACZ a QAZ sú zhodné, tak aj |AZ|=3{,}6 m, podobne |BZ|=6{,}4 m.
Označíme a a b príslušné strany \triangle ABC a vyšku CZ označíme v. Z Pytagorovej vety v trojuholníkoch AZC, CBZ a ABC dostávame rovnosti:

v^2+3{,}6^2=b^2

v^2+6{,}4^2=a^2

\hspace{1cm} a^2+b^2=(3{,}6+6{,}4)^2 \hspace{0.6cm} (♡)

v^2+6{,}4^2+v^2+3{,}6^2=(3{,}6+6{,}4)^2

2\cdot v^2+40{,}96=100

2\cdot v^2=46{,}08

v^2=23{,}04

v=4{,}8 m

Už stačí iba vypočítať obsah trojuholníka, ktorý vypočítame ako S=\frac{v \cdot c}{2}, dosadíme hodnoty S=\frac{4{,}8 \cdot (6{,}4+3{,}6)}{2}=\frac{4{,}8 \cdot 10}{2}=24 m^2.

Odpoveď: Obsah trojuholníka ABC je 24 metrov štvorcových.