9. príklad - Vzorové riešenie

Na začiatok si nakreslíme obrázok zo zadania. Dĺžka úsečky AB bude c, úsečky BC bude a a úsečky CA bude b. Keďže ACPQ je štvorec tak vieme, že aj jeho strany budú mať dĺžku a a keďže aj CBSR je štvorec tak aj jeho strany budú mať dĺžku b. Ďalej si označíme pätu kolmice z bodu P na priamku AB ako X a pätu kolmice z bodu R na priamku AB ako Y. Tieto body sú najbližšie body ležiace na priamke AB ku bodom P a R, čiže XP=21 a YR=28. Taktiež si označme uhol pri bode A a B písmenami \alpha a \beta.

Vieme, že uhol PXB a AYR sú pravé lebo priamky PX a RY sú kolmé na priamku AB. Keď sa pozrieme na uhly v trojuholníku PXB teda dostaneme, že uhol pri vrchole X má 90^\circ, uhol pri vrchole B je \beta a uhol pri vrchole P bude teda \alpha. Keď sa pozrieme na uhly v trojuholníku AYR dostaneme, že uhol pri vrchole Y má 90^\circ, uhol pri vrchole A je \alpha a uhol pri vrchole R bude teda \beta.

Vieme teda, že trojuholník XBP je zhodný s trojuholníkom AYR, lebo majú rovnaké uhly a strany AR a PB majú obe rovnakú dĺžku a to a+b. To teda znamená, že majú aj dĺžky iných strán rovnaké a dostaneme, že XB=28 a YA=21. Veľkosť prepony týchto trojuholníkov si vieme spočítať pomocou Pytagorovej vety, čiže

(a+b)^2 = 21^2 + 28^2 = 35^2 \Rightarrow a+b = 35.

Keďže vieme, že trojuholníky PXB a AYR sú podobné trojuholníku ABC (lebo majú rovnaké uhly), tak dostaneme, že strany a:b sú v pomere 28:21=4:3. Takže vieme, že \frac{4b}{3}=a, čiže

a+b=\frac{4b}{3} + b =35 \Rightarrow b = 15.

Keď b=15 tak a=\frac{4b}{3}=4\cdot\frac{15}{3}=20. Stranu c dopočítame pomocou pytagorovej vety ako

\begin{aligned}a^2 + b^2 &= c^2 \\ 20^2 + 15^2 &= c^2 \\ 625 &= c^2 \\ c &= 25\end{aligned}

Takže strany trojuholníka ABC budú mať veľkosti 25, 20 a 15.