7. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Osemnáste poschodie má tvar štvoruholníka, ktorý je rozdelený chodníkom na dva päťuholníky (ako na obrázku). Schody na vyššie poschodie sa nachádzajú na jednej zo stien na konci tohto chodníka. Stylogroy s príšerami chcú chodník prerobiť tak, aby bol rovnou úsečkou vedúcou od nejakej steny po schody. Problém ale je, že príšery sa učia bojový tanec podľa toho, na ktorej strane chodníka sú, takže aj po zmene chodníka musia dve časti, na ktoré poschodie rozdeľuje, mať rovnaký obsah ako pôvodne. Popíšte postup, ako pomocou rysovacích pomôcok nový chodník - úsečku skonštruovať a dokážte, že obsah častí poschodia sa nezmení.

Vzorové riešenie

Opravovali: duško, mišo

Najprv si spravíme čiaru od schodov po koniec cesty (K). Vznikne nám trojuholník SZK. My by sme ho radi nahradili trojuholníkom s rovnakým obsahom, ktorý však bude mať všetky vrcholy na stranách nášho štvoruholníka. Pri tom sa nezmenia obsahy jednotlivých častí poschodia, ale chodník bude rovný. Spomeňme si, že obsah trojuholníka vieme vypočítať pomocou základne a výšky na ňu. Takže dva trojuholníky, ktoré majú základne rovnakej dĺžky aj výšky rovnakej dĺžky, majú aj rovnaký obsah. Preto ak presunieme bod Z tak, aby ležal na jednej zo strán poschodia a aby aj nový trojuholník so základňou SK mal rovnakú výšku, dostaneme riešenie.


Narysujeme priamku p, ktorá je rovnobežná s úsečkou SK a prechádza cez bod Z. Body priamky p tak majú rovnakú vzdialenosť od SK ako bod Z. Preto obsahuje všetky body, kam môžeme presunúť Z, aby sa trojuholníku nezmenil obsah. Dostaneme 2 priesečníky, pričom jeden bude na strane, kde sa náchadzajú schody. To nebude platné riešenie. Vznikol teda iba jeden platný bod (N), čiže výsledná cesta bude úsečka NS.