Odporúčaný článok

Presun Riešky výletu - Ahojte, milí riešitelia! Veríme, že rovnako ako my s tešíte na výlet, ktorý mal byť už túto nedeľu. Bohužiaľ z dôvodu predpokladaného nepriaznivého počasia sme sa rozhodli výlet o týždeň … Prejsť na článok

×

3. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7

Zadanie

Lychondražej má jeden peniaz za každýkrát, čo spadol z osemnásteho poschodia. Okrem toho má ešte aj peniaze z iných zdrojov. Označme počet peňazí, ktoré má za padanie z osemnásteho poschodia a, a počet peňazí, ktoré má z iných zdrojov b. Čísla a a b sa skladajú z rovnakých číslic, pričom ani v a, ani v b sa žiadna číslica nevyskytuje viac ako raz. Zároveň platí, že číslice čísla a zľava doprava rastú, zatiaľ čo číslice čísla b zľava doprava klesajú. Koľko peňazí má Lychondražej z ktorého zdroja, pokiaľ má celkovo 11001000 peňazí?

Vzorové riešenie

Opravovali: merlin, miro

Pozrime sa najprv, koľko môžu mať naše čísla a a b cifier. Keďže sa obe majú skladať z rovnakých cifier a cifry v nich sa nebudú opakovať tak to znamená, že čísla a a b budú mať rovnaký počet cifier.

Ak by boli a a b 8 alebo viac ciferné, tak by ich súčet bol aspoň 10~000~000 + 10~000~000 = 20~000~000, čo je viac ako 11~001~000. Ak by mali a a b 6 alebo menej cifier, tak ich súčet môže byť najviac 999~999 + 999~999 = 1~999~998, čo je menej ako 11~001~000. Teda majú každé 7 cifier.

Označme si cifry čísla a postupne A až G z ľava do prava. Zo zadania vieme, že cifry v čísle a postupne rastú, teda platí nerovnosť A < B < C < D < E < F< G. Keďže čísla a a b majú rovnaké cifry a cifry v čísle b postupne klesajú, tak vieme, že b = \overline{GFEDCBA}. Z toho taktiež aj vyplýva, že čísla a a b nemôžu obsahovať cifru 0, pretože číslo sa nemôže začínať nulou.

\begin{matrix} &&\hspace{-5pt} A &\hspace{-5pt} B &\hspace{-5pt} C &\hspace{-5pt} D &\hspace{-5pt} E &\hspace{-5pt} F &\hspace{-5pt} G \\ + &&\hspace{-5pt} G &\hspace{-5pt} F &\hspace{-5pt} E &\hspace{-5pt} D &\hspace{-5pt} C &\hspace{-5pt} B &\hspace{-5pt} A \\ \hline &\hspace{-5pt} 1 &\hspace{-5pt} 1 &\hspace{-5pt} 0 &\hspace{-5pt} 0 &\hspace{-5pt} 1 &\hspace{-5pt} 0 &\hspace{-5pt} 0 &\hspace{-5pt} 0 \end{matrix}

Na mieste tisícok si môžeme všimnúť, že D + D + prenos= 2D+prenos sa končí na 1. Keďže 2D je určite párne číslo, tak musí nastať prenos na mieste stoviek. Teda 2D sa končí na 0 a keďže D nemôže byť 0, tak 2D = 10, teda D = 5.

Na mieste jednotiek vidíme, že A+G sa konči na 0. Keďže A ani G nemôžu byť 0, tak A + G = 10. Keďže už vieme, že D = 5, tak G musí byť aspoň 8, lebo inak by sa nedali doplniť cifry E a F. Teda máme 2 možnosti:

G = 8 a A = 2
Teraz máme len jednu možnosť na doplnenie cifier do a a b a to a = 2~345~678 a b = 8~765~432. Súčet týchto čísel je ale 11~111~110, čo nesedí.

Takže G = 9 a A = 1.
Súčet na mieste desiatok musí byť 9, pretože zo sčítania na mieste jednotiek nám zostal prenos. Ak by bola cifra F rovná 6 alebo menej, tak by sme za cifru E nevedeli dosadiť žiadne číslo. Ak by bola cifra F = 8, tak by cifra B musela byť 1, ale to podľa zadania nemôže. Teda F = 7 a B = 2.

Keďže F = 7 a D = 5, tak potom E musí byť 6. Teraz aby sedel súčet, tak C musí byť 3.

Už máme určené všetky cifry. Ešte skúška správnosti: 1~235~679 + 9~765~321 = 11~001~000. Teda naše čísla sú správne.

Odpoveď: Lichondražej má za padanie z osemnásteho poschodia (a) 1~235~679 peňazí a z iných zdrojov (b) má 9~765~321 peňazí.