Kategórie:
5
6

Zadanie

Zamestnávateľ príšer mal v zošite napísané tri rôzne nenulové cifry. Vytvoril z nich všetky možné trojciferné čísla, v ktorých sa každá z týchto cifier nachádza práve raz, a chcel ich sčítať. Na jedno však zabudol a tak mu vyšlo číslo 2125. Aké bolo to zabudnuté číslo? Nájdite všetky možnosti.

Vzorové riešenie

Opravovali: palo, uršuľa

Označme si tieto tri cifry a,\, b,\, c a nech zabudnuté číslo je \overline{abc}. Potom čísla, ktoré mal zamestnávateľ napísané v zošite sú \overline{acb},\, \overline{bca},\, \overline{bac},\, \overline{cab},\, \overline{cba} a ich sučet je rovný 2125.
Teda platí rovnosť: \overline{acb}+ \overline{bca}+ \overline{bac}+ \overline{cab}+ \overline{cba} =2125. Pripočítajme na obidve strany \overline{abc} a upravme rovnicu pomocou dekadického zápisu (t.j. \overline{abc}=100\cdot a + 10\cdot b + c).

\overline{acb}+ \overline{bca}+ \overline{bac}+ \overline{cab}+ \overline{cba} =2125, \\ \overline{abc}+ \overline{acb}+ \overline{bca}+ \overline{bac}+ \overline{cab}+ \overline{cba} =2125 + \overline{abc}, \\ 100 \cdot a + 10 \cdot b + c + 100 \cdot a + 10 \cdot c + b + 100 \cdot b + 10 \cdot c + a + 100 \cdot b + 10 \cdot a + c + 100 \cdot c + 10 \cdot a + b + 100 \cdot c + 10 \cdot b + a = 2125+\overline{abc}, \\ 222\cdot(a+b+c)=2125+\overline{abc}.

Teraz vieme vyjadriť zabudnuté číslo \overline{abc} ako 222\cdot(a+b+c)-2125 a súčet našich troch cifier(a+b+c) ako (2125+\overline{abc}):222 . Teraz si uvedomme, že najmenšie možné číslo \overline{abc} je 123 a najväčšie 987.
Potom musia platiť nerovnosti:

2248:222 \leq(a+b+c) \leq 3112:222.

Vydelením zistíme, že toto platí len pre ciferné súčty (a+b+c) rovné 11,\,12,\,13 alebo 14. Tieto štyri možnosti môžeme vyskúsať všetky a overiť, či existuje vyhovujúce číslo \overline{abc} a to nasledovne. Do vzorca

\overline{abc} = 222 \cdot (a+b+c)-2125

dosadíme príslušnú hodnotu ciferného súčtu našich troch cifier a vypočítame, aké by malo byť zabudnuté číslo. Keďže zabudnuté číslo sa tiež skladá z cifier a,\, b,\, c, tak musí mať rovnaký ciferný súčet ako hodnota ktorú sme dosadili za (a+b+c). Ak toto platí, našli sme zabudnuté číslo (resp. jednu možnosť). Teda postupne:

  • Ak sučet našich troch cifier, teda (a+b+c), je 11, tak potom \overline{abc}=222\cdot 11-2125=317 . Vidíme, že ciferný súčet zabudnutého čísla, čísla \overline{abc}=317, je naozaj 11. Teda máme prvé riešenie! Pre poriadok ešte skúšku správnosti: 371+173+137+731+713=2125, čo ľahko overíme, že sedí.
  • Ak (a+b+c)=12, tak potom \overline{abc} = 222 \cdot 12-2125=539. Avšak potom by ciferný súčet zabudnutého čísla bol 5+3+9=17 a nie ako by mal byť 12. Teda táto možnosť nám nevyhovuje.
  • Ak (a+b+c)=13, tak potom \overline{abc} = 222 \cdot 13-2125=761. Avšak potom by ciferný súčet zabudnutého čísla bol 7+6+1=14 a nie ako by mal byť 13. Teda táto možnosť nie je správna.
  • Ak (a+b+c)=14, tak potom \overline{abc} = 222 \cdot 14-2125=983. Avšak potom by ciferný súčet zabudnutého čísla bol 9+8+3=20 a nie ako by mal byť 14. Teda ani táto možnosť nás nevedie k riešeniu.

Ako vidíme, jediné možné vyhovujúce číslo \overline{abc} je 317. Teda zamestnávaťeľ zabudol napísať číslo 317.

Komentár

Takmer polovica z vás zvládla túto úlohu veľmi pekne. Niektorí ste ju riešili komplikovanejšími a zdĺhavejšími spôsobmi, ako napríklad postupným skúšaním možností. Čo pravdaže vôbec nevadilo, keď ste všetko dobre vysvetlili. Najčastejšiou chybou ktorú ste robili, bolo nedostatočné dokázanie (prípadne iba vyslovenie) niektorých Vašich tvrdení.