6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Tridsiati vedúci sa stretli v kaviarni. Každý z nich ochutnal nejaký koláč. Na výber bolo šesť druhov koláčov. Niektorí z nich boli viac maškrtní ako iní a tak polovica zo všetkých vedúcich ochutnala aspoň tri rôzne druhy koláčov. Zároveň tretina vedúcich ochutnala viac ako tri druhy koláčov. Kvôli zvláštnemu vzhľadu nikto z vedúcich neochutnal pistáciový koláč. Ukážte, že niektorý zo zvyšných piatich druhov koláčov ochutnalo menej ako dvadsať vedúcich.

Vzorové riešenie

Opravovali: erik, matejUuu, šálka

Zo zadania vieme, že:

  • Vedúci jedli 5 koláčov (pistáciový nie)
  • 10 vedúcich zjedlo 4 až 5 koláčov, pretože: „Zároveň tretina vedúcich ochutnala viac ako tri druhy koláčov.“
  • 15 vedúcich zjedlo aspoň 3 koláče. Už ale vieme, že 10 z nich zjedlo viac ako 3. Z toho vyplýva, že zvyšných 15 - 10 = 5 vedúcich zjedlo presne 3 koláče
  • ostali nám 15 vedúci, ktorí zjedli 1 až 2 koláče.

Vedúci mohli dokopy maximálne zjesť 15 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 10 \cdot 5 = 95 kusov koláčov.

15 \cdot 2, pretože 15 vedúcich zjedlo 1 až 2 (ak počítame koľko maximálne zjedli, tak počítame s tým, že zjedli 2 koláče).
5 \cdot 3, pretože vieme, že 5 vedúcich zjedlo práve 3 koláče.
10 \cdot 5, pretože vieme, že 10 vedúcich zjedlo 4 alebo 5 koláčov (ak počítame koľko maximálne zjedli, tak počítame s tým, že zjedli 5 koláčov).

Aby zjedli z každého koláča minimálne 20 kusov, tak museli minimálne dokopy zjesť 20 \cdot 5 = 100 kusov. Zistili sme, že dokážu zjesť maximálne 95, čo znamená, že vždy bude aspoň jeden druh koláča, z ktorého zjedli menej ako 20 vedúci.