Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Vedúci majú aj svoju umeleckú stránku. Napríklad umelkyňa Hanka sa rozhodla nakresliť moderný obraz. Najprv nakreslila obdĺžnik a potom nad každou jednou jeho stranou nakreslila štvorec smerom von. Záverečným detailom bolo dokreslenie zelených bodov, ktoré boli stredy tých štyroch štvorcov nad stranami obdĺžnika. Vtom jej ale do ateliéru vtrhol Maťko a vyhlásil, že tie zelené body sú štyri vrcholy štvorca. Dokážte, že mal pravdu.

Vzorové riešenie

Opravovali: palo
Najprv si - ako vo väčšine geometrických príkladov - nakreslíme obrázok:

Obr. 1: Náčrt Hankinej maľby

Pôvodný obdĺžnik sme nazvali ABCD a chceme ukázať, že štvoruholník MNOP je štvorec. Ako prvé by sme si mali ujasniť, čo je to stred štvorca. Existuje viacero definícií, my sa budeme držať toho, že stred štvorca je priesečník jeho uhlopriečok, presne ako na obrázku. Potom, ako je dobre známe o uhlopriečkach v štvorci platia nasledujúce TRI vlastnosti:
  1. uhlopriečky sú na seba kolmé
  2. uhlopriečky majú rovnakú dĺžku
  3. uhlopriečky sa navzájom delia na polovice (rozpoľujú)
Na tieto vlastnosti sa budeme odkazovať pomocou "(1), (2), (3)" práve podľa tohto zoznamu. Niektorí z Vás ukázali iba dve z týchto troch vlastností a to nestačí. Všimneme si to na nasledujúcich protipríkladoch:

Obr. 2: Protipríklady

Teraz podľa (2) vieme \left| PD \right| = \left| PC \right|, čiže trojuholník DCP je rovnoramenný. Navyše podľa (1) je jeho hlavný uhol (uhol medzi rovnakými ramenami) DPC pravý, teda tento trojuholník je rovnoramenný a pravouhlý. Takýto trojuholník, ako dobre vieme má uhly pri základni veľkosti 45°.
Analogicky vieme odvodiť presne toto aj o trojuholníkoch ADM, BAN a CBO.

Teraz sa zamerajme na uhol OBN. Je zrejmé, že platí
\begin{aligned} \left| \measuredangle OBN \right| = \left| \measuredangle OBC \right| + \left| \measuredangle CBA \right| + \left| \measuredangle ABN \right| \end{aligned}
Ale podľa predošlých zistení je tento súčet 45° + 90° + 45° = 180°. Teda uhol OBN je priamy a z toho vyplýva, že body O, B, N ležia na jednej priamke. Rovnakú vlastnosť troch bodov na jednej priamke vieme presne týmto spôsobom povedať aj o trojiciach bodov P,\,C,\,O a M,\,D,\,P a N,\,A,\,M.

Z tohto teraz vyplýva, že uhly AMD,\,DPC,\,COB,\,BNA sú vnútornými uhlami štvoruholníka zelených bodov MNOP. Teda už vieme, že tento štvoruholník má všetky vnútorné uhly pravé.
Zároveň už teraz vieme, že platí rovnosť dĺžok úsečiek \left| MN \right| = \left| MA \right| + \left| AN \right| a rovnako tak aj pre zvyšné tri strany pravouholníka MNOP. Teraz vidíme, že každá strana pravouholníka MNOP je dlhá pol uhlopriečky malého plus pol uhlopriečky veľkého štvorca. Tieto rovnaké dĺžky sú označené na obrázku písmenami x,y. Keďže obdĺžnik má protiľahlé strany rovnako dlhé, protiľahlé štvorce musia mať všetky rozmery rovnaké (a teda aj polovicu uhlopriečky).

V tejto chvíli má teda štvoruholník MNOP všetky uhly pravé a všetky strany rovnako dlhé. V tom prípade je to nutne štvorec. Hotovo!