9. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Maxo má svoj štýl a preto nosí okuliare v tvare pravouhlého trojuholníka, ktorého odvesna má dĺžku 40 milimetrov. Všimol si, že keď sa pozrie iba jedným okom, tak Slnko je vlastne kružnica vpísaná do sklíčka jeho okuliarov. Z tohto pohľadu je Slnko kruh s polomerom 15 milimetrov. Aký obsah má jedno jeho sklíčko na okuliaroch?

Vzorové riešenie

Opravovali: Qwedux, misou, repa
Najskôr si označíme body tak ako na obrázku. To znamená, že A bude vrchol pri pravom uhle, |AB| bude 40\text{mm} a C je zvyšný vrchol. Potom dotyky kružnice vpísanej so stranami trojuholníka BC, CA, AB označíme postupne D,E,F tak ako na obrázku. Stred vpísanej kružnice označíme S.

Vieme ukázať, že trojuholníky BSF, BSD sú zhodné podľa SSU, lebo majú rovnakú dĺžku SF, SD (polomer kružnice), pravý uhol pri F, resp. D a oba zdieľajú úsečku BS. Pravý uhol prišiel z toho, že spojnica stredu a bodu dotyku je kolmá na dotyčnicu. Analogicky však aj dvojice CSD, CSE a ASE, ASF sú navzájom zhodné.

Obsah trojuholníka vieme vyrátať dvomi spôsobmi:
  1. Ako polovica súčinu odvesien, teda \frac{|AB||AC|}{2}
  2. Ako súčet obsahov trojuholníkov ACS, BCS, ABS, čo je rovné r \cdot \frac{|AB|+|BC|+|CA|}{2}, kde r je polomer vpísanej kružnice, teda 15\text{mm}. Bližšie si to vieme priblížiť tak, že napríklad obsah trojuholníka ABS je \frac{|AB|\cdot v_S}{2}, kde v_S je dĺžka výšky z bodu S, teda |BF|.
Štvoruholník AFSE je štvorec, lebo dotyčnica zviera so spojnicou bodu dotyku a stredom kružnice pravý uhol, teda mám pravé uhly pri vrcholoch A, F, E, čím musí byť pravý uhol aj pri S (súčet uhlov v štvoruholníku je 360^\circ). Ďalej vieme, že |AF| = |AE| zo zhodnosti, teda tento štvoruholník musí byť štvorec, lebo štvoruholníky so štyrmi pravými uhlami majú protiľahlé strany rovnako dlhé, teda všetky štyri strany sú v AFSE rovnako dlhé.

Polomer kružnice vpísanej je 15\text{mm}, teda |AF| = |AE| = 15\text{mm}. Potom však |BD| = |BF| = 25\text{mm}, lebo |AF|+|BF| = 40\text{mm}. Jediné úsečky, ktorých nepoznáme dĺžku teda sú CE, CD. Vieme, že zo zhodnosti trojuholníkov CSE, CSD sú rovnako dlhé, teda označme túto dĺžku x. Porovnáme dva spôsoby výpočtu obsahu:
\begin{aligned} r\cdot \frac{|AB|+|BC|+|CA|}{2} &= \frac{|AB||AC|}{2}\\ 15\cdot \frac{40+(25+x)+(15+x)}{2} &= \frac{40\cdot (15+x)}{2}\\ 15\cdot (40+x) &= 20\cdot (15+x)\\ 300 &= 5x\\ 60 &= x \end{aligned}
Vidíme, že |CE| = |CD| = 60\text{mm}, teda vieme vypočítať dĺžku AC a obsah trojuholníka ako \frac{|AB||AC|}{2} = \frac{40\cdot (15+60)}{2} = 1500\text{mm}^2