4. príklad - Vzorové riešenie
Kategórie:
5
6
7
8
Zadanie
Imro je velký matik, preto má jeho hlava tvar štvoruholníka ABCD. O jeho hlave platí, že strana AB je rovnobežná so stranou CD, pri vrchole B je pravý uhol, trojuholník ADB je rovnoramenný so základňou AB a strany BC a CD sú obe dlhé 10 cm.
Zistite obsah Imrovej hlavy (štvoruholníka ABCD).
Zistite obsah Imrovej hlavy (štvoruholníka ABCD).
Vzorové riešenie
Opravovali: Jitka, erik, timka
Zadanie nám opisuje ako vyzerá Imrova hlava, poďme si ukázať ako sa dostaneme k výsledku. Vieme, že úsečky AB a CD sú rovnobežné a taktiež vieme, že pri vrchole B je 90^\circ uhol. Taktiež vieme, že uhol \angle ABC musí byť rovnaký ako \angle BCD, lebo sú súhlasné. Ďalej vieme, že \triangle ABD je rovnoramenný, a to že |AD| = |BD|, teda že tieto dve úsečky sú rovnako dlhé.
Pri rovnoramenných trojuholníkoch platí, že výška na základňu je rovnaká ako jeho ťažnica, čiže pretína základňu na polovicu. To znamená, že keď vytvoríme kolmicu z bodu C na priamku AB, tak tento bod (označme si ho X) bude rovnako vzdialený od A ako od B, lebo je v polovici strany AB. Ako môžeme vidieť, tak strana XB je rovnako dlhá ako CD, čiže strana AB bude dlhá 10\text{cm}\cdot 2 = 20\text{cm}.
O štvoruholníku ABCD vieme povedať, že je pravouhlým lichobežníkom lebo má strany AB a CD rovnobežné a \angle ABC je pravý. No a teraz máme len jednoduchý problém, vyriešiť obsah pravouhlého štvoruholníka. Na to aby sme vedeli obsah potrebujeme vedieť dĺžky oboch základní, čo aj vieme, a dĺžku výšky. Keďže tento lichobežník je pravouhlý pri vrcholoch B a C tak strana BC je rovná jeho výške. Takže si to dosadíme do rovnice na výpočet obsahu lichobežníka a dostaneme:
Pri rovnoramenných trojuholníkoch platí, že výška na základňu je rovnaká ako jeho ťažnica, čiže pretína základňu na polovicu. To znamená, že keď vytvoríme kolmicu z bodu C na priamku AB, tak tento bod (označme si ho X) bude rovnako vzdialený od A ako od B, lebo je v polovici strany AB. Ako môžeme vidieť, tak strana XB je rovnako dlhá ako CD, čiže strana AB bude dlhá 10\text{cm}\cdot 2 = 20\text{cm}.
O štvoruholníku ABCD vieme povedať, že je pravouhlým lichobežníkom lebo má strany AB a CD rovnobežné a \angle ABC je pravý. No a teraz máme len jednoduchý problém, vyriešiť obsah pravouhlého štvoruholníka. Na to aby sme vedeli obsah potrebujeme vedieť dĺžky oboch základní, čo aj vieme, a dĺžku výšky. Keďže tento lichobežník je pravouhlý pri vrcholoch B a C tak strana BC je rovná jeho výške. Takže si to dosadíme do rovnice na výpočet obsahu lichobežníka a dostaneme:
\begin{aligned}
S &= |BC|\cdot \dfrac{|AB|+|CD|}{2}\\
S &= 10\text{cm}\cdot \dfrac{20\text{cm}+10\text{cm}}{2}\\
S &= 10\text{cm}\cdot 15\text{cm}\\
S &= 150\text{cm}^2\\
\end{aligned}