6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Miška piekla rovnobežníkový koláč, ktorý rozdelila na štyri časti, ako je vidieť na obrázku (obr. 1). Rezala z bodu vnútri koláča a rezy končili v strede strán. Aký je obsah Ušiakového kúska koláča, ktorý je označený otáznikom? (Čísla na obrázku určujú obsah danej časti.)

Obr. 1: Koláč

Vzorové riešenie

Opravovali: mati, mišo
Označme si vrcholy nášho rovnobežníka A,B,C,D a bod v jeho vnútri I.

Keďže sa s obsahmi štvoruholníkov ráta ťažko, spojíme bod I s vrcholmi rovnobežníka. Tým rozdelíme časti zo zadania na trojuholníky.

Obr. 1: Rozdelenie na trojuholníky

Pozrime sa teraz na dvojicu trojuholníkov, ktorá má spoločnú stranu vedúcu z bodu I do stredu strany rovnobežníka. Spolu tvoria trojuholník, v našom prípade ABI. Rez koláča rozdeľuje stranu AB na dve rovnaké časti. Dvojica trojuholníkov má teda rovnako dlhé základne a. Rovnako výška trojuholníka ABI, označená v, je spoločná pre obe tieto časti. Obsah trojuholníka sa počíta pomocou strany a výšky na ňu ako \dfrac{a\cdot v}{2}. Keďže majú dva naše trojuhlníky rovnaké dané dĺžky, budú mať aj rovnaký obsah. Označíme ho S_1.

Obr. 2: Dvojica trojuholníkov

Rovnakým spôsobom zistíme aj, že trojuholníky BCI,CDI,DAI sú rezom rozdelené na dve časti s rovnakým obsahom. Trojuholník BCI na časti s obsahom S_2, CDI na časti s obsahom S_3 a DAI na časti s obsahom S_4. Vyznačíme teda v obrázku trojuholníky, ktoré majú rovnaký obsah.

Obr. 3: Rovnaké obsahy

Vráťme sa teda k rezom zo zadania. Zamerajme sa vždy na dvojicu častí v protiľahlých rohoch. Vidíme, že takáto dvojica dokopy obsahuje po jednom trojuholníku každého obsahu - S_1,S_2,S_3,S_4. Tieto páry teda majú teda oba rovnaký obsah - S_1+S_2+S_3+S_4. Pri zohľadnení čísel zo zadania dostaneme nasledujúce rovnice:

\begin{aligned} ?+8&=5+6\\ ?&=5+6-8\\ ?&=3 \end{aligned}

Obsah Ušiakovho kúsku koláča je 3.