4. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Všetky požiadavky na číslo vozňu sa dajú zhrnúť nasledovne: Číslo vozňa je najmenšie také prirodzené číslo, ktorého polovica je deliteľná tromi, tretina deliteľná štyrmi, štvrtina deliteľná jedenástimi a jeho polovica dáva zvyšok 5 po delení siedmimi. Nájdite toto číslo.

Vzorové riešenie

Opravovali: Qwedux, merlin, misou
Na prekvapenie väčšiny riešiteľov sa tento príklad dal riešiť úplne bez skúšania možností. Začneme však s nasledovnými pozorovaniami:
  1. Ak \frac{a}{b} je deliteľné číslom c, tak potom je číslo a je deliteľné súčinom b \cdot c, lebo si to vieme napísať ako a = k\cdot b \cdot c kde k je nejaké prirodzené číslo.
  2. Takto vieme zistiť, že 6, 12, 44 delia číslo vagónu bezo zvyšku. Z toho ale vyplýva, že číslo vagónu musí byť nejaký násobok najmenšieho spoločného násobku týchto čísel, teda čísla 132.
  3. V tomto momente už stačí vyskúšať len štyri možnosti: 132, 264, 396, 528 a zistili by sme, že 528 je prvé číslo, ktorého polovica dáva zvyšok 5 po delení 7. Výsledné číslo vagóna tak bude 528. Tu len naozaj bolo treba poriadne vypísať všetky možnosti a ukázať, že prvé tri, ktoré sú menšie naozaj nevyhovujú.