5. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Chodba z hladomorne na slobodu ide najprv rovno, potom hore schodmi a nakoniec dole schodmi. Šálka ide rovnou chodbou rýchlosťou 4m/s, hore schodmi rýchlosťou 2m/s a dole schodmi vie zoskočiť rýchlosťou 5m/s. Na slobodu sa dostal za 56 sekúnd. Potom si však spomenul, že si v hladomorni zabudol termosku s gulášom. Rozhodol sa po ňu vrátiť naspäť do hladomorne, čo mu trvalo 47 sekúnd. Ak rovný úsek chodby má 80 metrov, aká je dĺžka oboch častí schodiska?

Vzorové riešenie

Opravovali: Miňo, david, jozkoF

Vieme, že nech ide ktorýmkoľvek smerom, tak rovný úsek prejde stále za rovnaký čas. Teda podľa vzorca t=s/v si vieme zistiť, za aký čas sme prešli danú vzdialenosť: t=80\div4=20\,\text{s}. Teraz zistíme, koľko trvalo prejsť len schodiská, teda od časov v zadaní odčítame čas potrebný na prejdenie roviny:

smerom na slobodu: 56\,\text{s}-20\,\text{s}=36\,\text{s}

smerom do hladomorne: 47\,\text{s}-20\,\text{s}=27\,\text{s}

Teraz si podľa vzorca t=s/v zostavme rovnice pre cestu na slobodu a do hladomorne, pričom označme x ako dĺžku schodiska smerom hore v smere von z hladomorne a y ako dĺžku schodiska smerom dole v smere von z hladomorne:

smerom na slobodu: x\div2+y\div5=36\,\text{s}

smerom do hladomorne: x\div5+y\div2=27\,\text{s}

Teda riešme sústavu rovníc zadanú vyššie:

x\div2+y\div5=36
x\div5+y\div2=27

Vynásobíme obe rovnice číslom 10:

5x+2y=360
2x+5y=270

Druhú rovnicu vynásobíme -2{,}5:

5x+2y=360
-5x-12{,}5y=-675

Rovnice sčítame:

-10{,}5y=-315

Podelíme obe strany rovnice -10{,}5:

y=30

Dosadíme hodnotu y do jednej z rovníc (je jedno do ktorej, keďže by sme mali dostať ten istý výsledok):

x\div2+y\div5=36
x\div2+30\div5=36
x\div2+6=36

Od oboch strán odčítame 6:

x\div2=30

Obe strany vynásobíme 2:

x=60

Dostávame teda, že x=60\,\text{m} a y=30\,\text{m}, čo sú naše hľadané dĺžky.