Odporúčaný článok

Letné akcie a koronavírus - Milí Ušiaci, rodičia, vzhľadom na pandémiu koronavíru a jej dopadu na organizovanie hromadných akcií, sme boli nútení zmeniť … Prejsť na článok

×
Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Šálka položil mravca na hraciu kocku, ktorá má tvar štvorstenu. Kocka má na stenách čísla 1, 2, 3 a 4. Mravec začínal na jednej zo stien a potom osemkrát prešiel na nejakú stenu inú ako tú, kde bol teraz. Dokopy teda prešiel po deviatich stenách. Šálka si zakaždým zapísal číslo steny, na ktorej mravec bol, teda si celkovo zapísal postupnosť deviatich čísel. Na konci bol súčet čísel 30, pričom práve päť z nich boli štvorky. Koľko je rôznych postupností čísel, ktoré si Šálka mohol zapísať?

Vzorové riešenie

Opravovali: erik, matejUuu, šálka

Vieme, že postupnosť sa skladá z 9 čísiel a práve 5 z nich sú štvorky. To znamená, že 9-5=4 čísla v postupnosti musia byť iné ako 4. Keďže dve po sebe idúce čísla nemôžu byť rovnaké, tak medzi 5 štvorkami musia byť aspoň 4 čísla (lebo medzi 5 štvorkami sú „4 medzery“ a v každej tejto medzere musí byť aspoň jedno číslo). A máme práve 4 čísla iné ako 4 čo znamená, že v každej tejto „medzere“ musí byť jedno číslo iné ako 4. Postupnosť čísiel bude teda v tvare 4A4B4C4D4, pričom pod písmenami A,B,C,D bude jedno z čísiel 1,2,3. Keďže rozmiestnenie štvoriek nemôžeme meniť (neplatilo by pravidlo, že ide vždy na inú stenu), tak štvorky neovplyvňujú počet možných postupností. Rozdiely medzi postupnosťami budú teda len čísla na miestach A,B,C,D.

Vieme, že súčet čísiel celej postupnosti je 30. Súčet štvoriek v postupnosti je 5\cdot4=20. Súčet čísiel A,B,C,D bude teda 30-20=10. Poďme sa teda pozrieť aké čísla sa môžu skrývať pod A,B,C,D:

Menej ako dve trojky medzi číslami nemôžu byť, lebo súčet by bol nanajvýš 3+2+2+2=9.

Keď máme aspoň 2 trojky, tak môžeme vyskúšať akoby vyzerali ďalšie čísla:

  • K dvom trojkám pripočítame jednu 1: 3+3+1=7 takže štvrté číslo musí byť 3
  • K dvom trojkám pripočítame jednu 2: 3+3+2=8 takže štvrté číslo musí byť 2
  • K dvom trojkám pripočítame jednu 3: 3+3+3=9 takže štvrté číslo musí byť 1

Vidíme, že prvá a tretia možnosť je rovnaká, čiže čísla A,B,C,D môžu byť len 3,3,3,1 alebo 3,3,2,2.

Teraz už len potrebujeme zistiť koľkými spôsobmi vieme usporiadať čísla 3,3,3,1 a 3,3,2,2:

Usporiadať čísla 3,3,3,1 môžeme 4 spôsobmi. Je to preto, lebo jednotku môžeme dať na 4 rôzne miesta a na zvyšných by sa museli nachádzať už len trojky.

Čísla 3,3,2,2 vieme usporiadať 6 spôsobmi. Je to preto, lebo prvú dvojku vieme dať na 4 rôzne miesta. Druhú dvojku vieme potom dať na 4-1=3 rôzne miesta, teda 4\cdot3=12 možností. Takto sme však zarátali každú možnosť dvakrát (lebo ak dáme prvú dvojku na 3. miesto a druhú na 1. miesto je to to isté akoby sme dali prvú dvojku na 1. miesto a druhú na 3. miesto). Čiže dvojky vieme rozmiestniť \frac{4\cdot3}2=6 spôsobmi. Ostali nám už len dve trojky a pre ne máme pri každej možnosti iba dve voľné miesta, takže počet možností sa nám nezvýši.

Takto sme zistili, že pre čísla 3,3,3,1 máme 4 možnosti a pre čísla 3,3,2,2 máme 6 možností čo je dokopy 4+6=10. Šálka teda mohol napísať 10 možností.

Komentár:

Väčšina ste mali správny výsledok, lenže nedokázali ste kroky, ako ste sa k tomu výsledku dostali. Viacerí ste poriadne nedokázali prečo 4 čísla, ktoré sú 1, 2 alebo 3 môžu byť len 3, 3, 3, 1 a 3, 3, 2, 2. Keď chcete nájsť všetky možnosti v nejakom príklade, tak vždy musíte napísať do postupu ako ste ich našli (napísať výsledok v Rieškach nestačí).

Hodnotenie:
  • 3b za vysvetlenie prečo musí byť postupnosť v tvare 4A4B4C4D4 a uvedomenie si, že štvorky nemôžu byť na iných miestach a že neovplyvňujú počet možností.
  • 1b za ukázanie, že čísla iné ako 4 majú súčet 10.
  • 4b za dôkaz, že čísla iné ako 4 môžu byť len 3,3,3,1 alebo 3,3,2,2
  • 2b za vypočítanie počtu možných rozmiestení čísiel iných ako 4.