Prémia 1 - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Loď vie používať 9 rôznych druhov pohonu. Na začiatku letu si musíme zvoliť, ktorý z nich bude loď používať tak, aby sme vedeli precestovať každý svetelný rok z päťdesiatich, ktoré cestu tvoria.

Pomocou zátvoriek a nasledujúcich operácií: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocňovanie, odmocňovanie a faktoriál; vytvorte 50 výrazov, ktorých výsledkami budú všetky čísla od 1 do 50 vrátane. Použiť môžete len jednu, vami zvolenú, nenulovú cifru. Túto a len túto cifru musíte použiť v každom výraze. Koľko najmenej krát dokopy ju treba použiť?

Umocňovanie je operácia, pri ktorej počítame nejaké číslo (základ) na iné číslo (exponent), na príklad 2^3. Výsledok dostaneme tak, že základ vynásobíme samým sebou toľkokrát, koľko hovorí exponent. V tomto prípade 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8.
Odmocňovanie je operácia opačná umocňovaniu. Napr. \sqrt[3]{8} = 2. Pri druhej odmocnine (\sqrt[2]{}) dvojku nepíšeme.
Faktoriál nejakého čísla značíme výkričníkom, napr. 4!. Výsledok dostaneme tak, že zadané číslo postupne vynásobíme všetkými menšími až po 1. V tomto prípade 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24.

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, kuboW, miro
Najkratšie riešenie ktoré sa nám podarilo nájsť obsahuje 153 štvoriek, a môže vyzerať napríklad takto:

číslo výraz
1 \frac{4}{4}
2 \sqrt4
3 4-\frac{4}{4}
4 4
5 4+\frac{4}{4}
6 \frac{4!}{4}
7 \frac{4+4!}{4}
8 4+4
9 4+4+4/4
10 4+4+\sqrt4
11 \frac{44}{4}
12 \frac{4!}{\sqrt4}
13 \frac{{\sqrt4+4!}}{\sqrt4}
14 \frac{4!}{\sqrt4}+\sqrt4
15 4^{\sqrt4}-4/4
16 4\cdot4
17 4\cdot4+4/4
18 4\cdot4+\sqrt4
19 4!-4-\frac{4}{4}
20 4!-4
21 4!+\frac{4}{4}-4
22 4!-\sqrt4
23 4!-\frac{4}{4}
24 4!
25 4!+\frac{4}{4}
26 4!+\sqrt4
27 4!+4-\frac{4}{4}
28 4!+4
29 4!+4+\frac{4}{4}
30 4!+4+\sqrt4
31 4!+\frac{4!+4}{4}
32 (4+4)\cdot4
33 \sqrt4+\frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{4^{4!}}}}}{\sqrt4}
34 4!+4+4+\sqrt4
35 4!+\frac{44}{4}
36 4!/\sqrt4+4!
37 4!+\frac{4!+\sqrt4}{\sqrt4}
38 4!+4\cdot4-\sqrt4
39 4!+4\cdot4-4!+\frac{4}{4}
40 4!+4\cdot4
41 \sqrt{\frac{4!+(4+4)!}{4!}}
42 44-\sqrt4
43 44-\frac{4}{4}
44 44
45 44+\frac{4}{4}
46 44+\sqrt4
47 4!+4!-\frac{4}{4}
48 4!+4!
49 4!+4!+\frac{4}{4}
50 4!+4!+\sqrt4

Hodnotenie

153 až 155 použitých čísel - 7 bodov
156 až 157 použitých čísel - 6 bodov
158 až 162 použitých čísel - 5 bodov
163 až 170 použitých čísel - 4 body
171 až 190 použitých čísel - 3 body
191 až 199 použitých čísel - 2 body
200 a viac použitých čísel - 1 bod

Komentár

Niektorí si v riešení vybrali dvojky alebo trojky, no zaujímavým faktom je, že od nich sú vždy lepšie 4 alebo 9, lebo s nimi vieme dosiahnuť jednou cifrou aj 2(=\!\sqrt4) alebo 3(=\!\sqrt9). Väčšina z Vašich riešení využívala štvorky, ktoré sa aj ukázali byť najefektívnejšie. Dobre použiteľné boli vo forme \sqrt4, ale aj 4! či 4\cdot4. Kľúčom boli práve tieto hodnoty, ktoré boli rovnomerne umiestnené medzi 1 a 50. Deviatka je na takéto operácie príliš veľká, a trojka príliš malá. Zaujímavou otázkou na zamyslenie je, ako by sa zmenil náš výber cifry, ak by sme mali zostaviť čísla od 1 do 100, alebo do ešte väčších čísel...