1. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5

Zadanie

V každom z 8 políčok symbolu je nejaké prirodzené číslo. Každé číslo vo vyfarbenom políčku je súčtom čísel v susedných bielych políčkach. Navyše pre každú dvojicu bielych políčok oproti sebe platí, že ich súčet je 17. Aký je súčet všetkých 8 políčok? Nájdite všetky možnosti.

Vzorové riešenie

Opravovali: Miňo, miro

Našou úlohou je nájsť všetky možnosti, aký môže byť súčet všetkých 8 políčok. Keďže biele políčka sú štyri a súčet každej dvojice protiľahlých bielych políčok je 17, súčet všetkých bielych políčok bude 2 \cdot 17 = 34. O každom vyfarbenom políčku vieme, že je súčtom susedných bielych políčok. Z toho vyplýva, že hodnota každého bieleho políčka sa zaráta dvakrát do zafarbených políčok, pretože každé biele políčko susedí s dvomi zafarbenými políčkami. Súčet zafarbených políčok je teda dvojnásobkom súčtu bielych: 2 \cdot 34 = 68. Potom súčet všetkých 8 políčok bude 34 + 68 = 102, čo je jediná možnosť.

Na úlohu sa dá pozerať aj z iného pohľadu. Môžeme si všimnúť, že súčet každej dvojice zafarbených políčok oproti sebe je rovný súčtu všetkých bielych políčok; totiž keď jedno zo zafarbených políčok susedí s určitými 2 bielymi políčkami, zafarbené políčko oproti nemu bude susediť s tými zvyšnými 2 bielymi políčkami, čiže súčet každej dvojice protiľahlých zafarbených políčok bude 34 atď. Toto ale platí len v tejto úlohe, keď máme práve 4 biele a 4 zafarbené políčka, ktoré sa navzájom striedajú po obvode kruhu.

Odpoveď: Existuje jediná možnosť - súčet všetkých 8 políčok je 102 .