7. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Tmavý les (iný ako ten v úlohe 2) má tvar trojuholníka ABC, kde strana BC je dvakrát taká dlhá ako strana AB. V strede strany BC sa nachádza bod D a v strede AC sa nachádza bod S. Priesečníkom úsečiek AD a BS je bod E a bod F je stredom úsečky EA. Dokážte, že uhol ABF = EBD.

Vzorové riešenie

Opravovali: Qwedux
Riešenie:

Body D, S ležia v stredoch strán BC, AC, teda úsečky AD, BS sú ťažnice v trojuholníku ABC. Priesečník ťažníc je ťažisko, teda bod E je ťažisko trojuholníka ABC.

Ťažisko delí ťažnicu v pomere 2:1, teda dĺžka |AE| je dva krát dlhšia ako dĺžka |ED|. Bod F je v strede úsečky AE, teda |AF| = |FE|. Keďže vieme, že úsečka ED je dva krát kratšia ako úsečka AE, tak musí platiť že |AF| = |FE| = |ED|.

Teraz sa pozrime na trojuholník ABD. V tomto trojuholníku máme dve rovnako dlhé strany, a to AB, BD, lebo 2|AB| = |BC|, a zároveň D leží v strede BC, teda 2|BD| = |BC|. Keď dáme tieto rovnosti dokopy, tak dostaneme 2|AB| = |BC| = 2|BD|, teda |AB| = |BD|.

Trojuholník, ktorý má dve strany rovnako dlhé nazývame rovnoramenný a platí v ňom, že uhly pri základni má rovnako veľké. Základňa je v tomto prípade strana AD, teda platí |\measuredangle BAD| = |\measuredangle ADB|.

Dostali sme teda tri zaujímavé rovnosti. Konkrétne |AF| = |ED|, |AB| = |BD|, |\measuredangle BAD| = |\measuredangle ADB|. Podľa vety SUS sú potom trojuholníky AFB a DEB zhodné, čím musia byť zhodne veľké aj uhly ABF, EBD.