Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Čierna skrinka je zamknutá na trojciferné heslo. Nájdite jeho nenulové cifry x, y a z také, aby:
  • xyz bolo deliteľné 46
  • yxxy bolo deliteľné 7
  • xxzx bolo deliteľné 3

Vzorové riešenie

Opravovali: david, mišo, šošo, šálka

Číslo yxxy si vieme zapísať aj ako 1000y+100x+10x+y=1001y+110x. Vieme o ňom, že má byť deliteľné 7. 1001y vo svojom prvočíselnom rozklade 7 obsahuje (lebo 1001=143·7), takže na to, aby aj výsledné yxxy bolo deliteľné 7 musí byť aj 110x deliteľné 7. Keďže 110 nie je deliteľná 7, tak x musí byť deliteľné 7, no a jediné také nenulové x=7.

Pozrime sa teraz na číslo xxzx (podľa prvého odstavca 77z7). Ak je toto číslo deliteľné 3, potom musí byť jeho ciferný súčet deliteľný 3, teda x+x+z+x musí byť delitelné 3. Keď si to prepíšeme, tak 21+z musí byť deliteľné 3. 21 deliteľná 3 už je, teda z musí byť tiež deliteľné 3. Z je potom buď 3, 6 alebo 9.

Keď sa pozrieme na číslo xyz, tak ak je deliteľné 46, tak musí byť aj všetkými jeho deliteľmi (1, 2, 23, 46). Ak je číslo deliteľné 2, potom jeho posledná cifra je párna. Keď to spojíme s podmienkou z predchádzajúceho riadku, tak vieme, že z=6.

Vieme, že číslo xyz sa dá zapísať ako 7y6. Teraz už len vypíšeme všetky čísla, ktoré sú menšie ako 800 a väčšie ako 700 a pozrieme sa, ktoré z nich vyhovujú našim podmienkam:

736 - vyhovuje

782 - posledná cifra nie je 6

Väčšie ani menšie čísla delitelné 46 v intervale od 700 do 800 nie sú a preto je x=7, y=3, z=6 jediným riešením.