Odporúčaný článok

Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok

×
Kategórie:
5

Zadanie

V prvej desiatke súťažiacich sa na vyhodnotení IMO umiestnili dvaja Aldebarančania, dvaja Boötesčania, dvaja Canopusania, dvaja Delfíni a dvaja Electránci. Reprezentanti od Aldebaranu mali priemerné umiestnenie 5{,}5, z Boötes 9, od Canopusu 7{,}5, Delfíni 3 a od Electry 2{,}5. Ako sa umiestnili ktorí reprezentanti?

Vzorové riešenie

Opravovali: Danko, miro

Na začiatok si môžeme zjednodušiť príklad tým, že namiesto priemeru použijeme súčty. Tento krok nie je nutný k správnemu riešeniu, ale bude sa nám vďaka nemu ľahšie opisovať postup celého riešenia. Priemerné umiestnenie dvoch súťažiacich sa rovná polovici súčtu ich umiestnení, takže ak ich priemer vynásobíme dvomi, dostaneme súčet miest, na ktorých sa umiestnili. Tieto súčty sú pre súťažiacich z Aldebaranu(A) 11, z Boötes(B) 18, od Canopusu(C) 15, pre Delfínov(D) 6 a od Electry(E) 5.

Teraz sa pokúsime postupne pre rôzych súťažiacich nájsť dôvod, prečo iba jedna z možností, ako sa mohli umiestniť, bude správna. To sa nám oplatí spraviť naprv pre najextrémnejší súčet, ktorý majú B. Tu existuje iba jedna možnosť ako sa mohli umiestniť - na 8. a 10. mieste. Ak by sa ani jeden z nich neumiestnil na 10. mieste, Aj keby sa umiestnili najhoršie možne, na 8. a 9., súčet ich umiestnení by bol príliš nízky - 17.

Niektoré z vysokých umiestnení už máme obsadené, preto sa znova pozrieme na niekoho s vysokým súčtom, ďalší v poradí sú C so súčtom 15. Ich možnosti umiestnenia sú 10+5, 9+6, 8+7. Možnosť 10+5 však už má obsadené desiate miesto, a možnosť 8+7 ôsme. Inak sa dalo povedať, že ak by C nebol na 9. mieste, tak by mohol mať najviac súčet 7+6=13, čo je málo.

Podobným spôsobom pokračujeme - tentokrát pre súťažiacich A. Tí sa museli umiestniť na 7. mieste, lebo ak by sa na ňom neumiestnili, tak by ich súčet mohol byť najviac 5+4=9. Teda z možných umiestnení 10+1, 9+2, 8+3, 7+4, 6+5 to bude umiestnenie 7+4, a môžeme vidieť, že naozaj každé iné umiestnenie má už jednu pozíciu obsadenú.

Teraz nám ostávajú nám voľné už len miesta 1,2,3 a 5, pre D s priemerom 6 a E s priemerom 5. Priemer 6 vytvoríme jedine dvojicou umiestnení 1 a 5, lebo možnosť 2 a 4 nejde spraviť - 4. miesto obsadzuje jeden z A. Posledné dve miesta - 2 a 3 teda budú patriť E.

Príklad sa dal riešiť aj trochu iným spôsobom, ktorý zvolila aj časť riešiteľov. V tomto riešení by sme začali pri D a E. Tí majú možnosti umiestnenia 1+5 a 2+4 pre D, a 1+4 a 2+3 pre E. Tu si môžeme všimnúť, že ak by sme pre E zvolili možnosť 1+4, obsadili by sme tým jedno miesto z oboch možností pre D, a teda D by sa nevedelo umiestniť. Preto sa E musí umiestniť na 2. a 3. mieste, z čoho vyplýva že D sa umiestnilo na 1. a 5., a z toho sa vieme podobne ako v prvom riešení vypracovať k jediným možnostiam pre všetkých súťažiacich.

Odpoveď: Súťažiaci sa umiestnili nasledovne:

  1. Delfín
  2. Electránec
  3. Electránec
  4. Aldebrančan
  5. Delfín
  6. Canopusan
  7. Aldebračan
  8. Boötesčan
  9. Canopusan
  10. Boötesčan