6. príklad - Vzorové riešenie
Kategórie:
5
6
7
8
9
Zadanie
Na kúzlo treba odrecitovať všetky päťciferné násobky 7, pre ktoré platí:
- súčet prvých troch cifier je 10
- súčet prostredných troch cifier je 10
- súčet posledných troch cifier je 10
Vzorové riešenie
Opravovali: Imro, merlin, mišo
Naše šesťciferné číslo si označíme \overline{ABCDE} , kde A, B, C, D, E sú postupne jeho cifry.
Zo zadania máme tri rovnice:
\begin{gathered}A+B+C=10\\B+C+D=10\\C+D+E=10\end{gathered}
Teda platí A+B+C=B+C+D, teda A=D. Taktiež platí B+C+D=C+D+E, teda B=E. Naše číslo má teda tvar \overline{ABCAB}.
Toto číslo sa dá rozpísať na: 10000A+1000B+100C+10A+B=10010A+1001B+100C. Zo zadania ale vieme, že toto číslo musí byť deliteľné 7. Keďže 10010A aj 1001B deliteľné 7 určite sú \lparen 10010\div7=1430,1001\div7=143\rparen, tak aj 100C musí byť deliteľné 7.
Keďže 100 nie je deliteľné 7, musí byť C deliteľné 7.
Teda C môže byť len 0 alebo 7.
Poďme teda vypísať možnosti:
Zo zadania máme tri rovnice:
\begin{gathered}A+B+C=10\\B+C+D=10\\C+D+E=10\end{gathered}
Teda platí A+B+C=B+C+D, teda A=D. Taktiež platí B+C+D=C+D+E, teda B=E. Naše číslo má teda tvar \overline{ABCAB}.
Toto číslo sa dá rozpísať na: 10000A+1000B+100C+10A+B=10010A+1001B+100C. Zo zadania ale vieme, že toto číslo musí byť deliteľné 7. Keďže 10010A aj 1001B deliteľné 7 určite sú \lparen 10010\div7=1430,1001\div7=143\rparen, tak aj 100C musí byť deliteľné 7.
Keďže 100 nie je deliteľné 7, musí byť C deliteľné 7.
Teda C môže byť len 0 alebo 7.
Poďme teda vypísať možnosti:
- C=0 Potom A+B=10-0=10. Teda možnosti sú:
- C=7 Vieme, že A+B=10-7=3. Taktiež A môže byť len 1 až 9 (ak by platilo A=0, číslo by bolo štvorciferné). Teda možnosti sú:
19019,28028,37037,46046,55055,64064,73073,82082 a 91091
12712,21721 a 30730