5. príklad - Vzorové riešenie

V geometrii je fajn si nakresliť obrázok, takže začnime s ním. Aby sa nám lepšie pracovalo, pomenujme si vrcholy, napríklad nasledovne:

Ako prvé by sme si mohli pripomenúť, že obrázky v zadaní nie sú presné a malo by sa v nich používať iba to, čo máte zadané a to, čo dokážete. Viacerí z vás používali fakt, že body A, D, C ležia na jednej priamke a potom ste dostávali nesprávne výsledky, pretože tento fakt je nepravdivý.

Máme teraz dve možné informácie, ktoré môžeme použiť, a tu sú dĺžky a pravé uhly. V tejto chvíli nám len dĺžky veľmi nepomôžu, takže treba nejako šikovne použiť pravé uhly. Pravý uhol BAE si necháme na neskôr, teraz sa sústreďme na dva zvyšné pravé uhly.

Zamerajme sa na úsečku CD. Vidíme, že úsečky BC a DE sú na ňu obe kolé, preto sú navzájom sú rovnobežné. Toto je veľmi dôležitý krok, ktorý veľa z vás zanedbalo. Predĺžme teraz úsečku BC na priamku, je zjavné, že aj celá táto priamka je kolmá na CD. Prenesme si teraz úsečku DE na túto priamku tak, aby bol bod D v bode C a takto bod E padne do nového bodu F. Samozrejme, že platí \left| DE\right| = \left| CF\right|. Vďaka pravouhlosti a rovnakých dĺžok platí, že \left| FE\right| = 4 a tiež, že úsečka FE je kolmá na priamku BC. Spojme ešte body B, E úsečkou a pozrime sa na nový obrázok:

Pozrime sa teraz na trojuholník FEB. Ten vieme, že je prevouhlý, jedna strana má dĺžku 4, druhá 8 a jeho najdlhšia strana, prepona, je červená úsečka. Ďalej, aj trojuholník AEB je pravouhlý, vidíme, že jeho prepona je červená úsečka a jedna z jeho strán má dĺžku 4. Teraz sa dalo pokračovať dvomi schodnými cestami, uvedieme obe.

Prvá možnosť využije to, že trojuholníky FEB, AEB sú zhodné podľa vety ssu o podobnosti trojuholníkov - červená úsečka, úsečka dĺžky 4 a pravý uhol. Zo zhodnosti vyplýva, že \left| FB\right| = \left| AB\right| a z toho vieme, že \left| AB\right| = 8, čo sme potrebovali zistiť.

Druhá možnosť používa Pytagorovu vetu pre pravouhlé trojuholníky. Z tejto vety vyplýva, v našom prípade, že \left| EB\right| = \sqrt{\left| EF\right|^2 + \left| FB\right|^2}, presnejšie teda \left| EB\right| = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80}. Teraz použime Pytagorovu vetu znovu, ale na trojuholník AEB a to v tomto znení: \left| AB\right| = \sqrt{\left| EB\right|^2 - \left| AE\right|^2}. Dosadíme: \left| AB\right| = \sqrt{\sqrt{80}^2 - 4^2} = \sqrt{64} = 8.

Obe metódy nám dali rovnaké riešenie (a to že \left| AB\right| = 8) čo je upokojujúce.