Odporúčaný článok

Zadania 3. zimného kola - Ahojte, Rieškari! Skončilo sa nám druhé letné kolo, a teda prichádzajú zadania tretieho kola aj s pokračovaním príbehu! Môžete ich nájsť v sekcii zadania máte na nich čas do 26. … Prejsť na článok

×

6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Pod Viktorovým stolom bolo poukladaná veža porcelánových tanierikov, na ktorú kamienok spadol.

V hornej tretine veže boli tanieriky, ktoré čajovňu stáli 80 dukátov za kus. V spodnej tretine veže boli tanieriky, ktoré stáli čajovňu 50 dukátov za kus. Zvyšné tanieriky stáli čajovňu 65 dukátov za kus.

Náraz kamienku rozbil 25 vrchných tanierikov.

Ak by majiteľ kaviarne vežu staval tak, že najlacnejšie tanieriky dal do vrchnej tretiny a najdrahšie do spodnej, spôsobil by tento istý kamienok škodu o 330 dukátov nižšiu.

Koľko bolo na veži pôvodne tanierikov?

Vzorové riešenie

Opravovali: JakubH, JakubLaffers, Majko, MatejVasko

Označme n počet tanierikov v jednej tretine veže. Všetky tretiny sú rovnako veľké, takže celá veža má 3n tanierikov. Kamienok padá zhora, a preto rozbil 25 najvyšších tanierikov.
Nech x je počet rozbitých tanierikov v hornej tretine, y v strednej tretine a z v dolnej tretine. Platí:

x + y + z = 25


Pôvodná veža: Rozbitý tanierik z hornej tretiny stojí 80 dukátov, zo strednej 65 a z dolnej 50. Spôsobená škoda (v dukátoch) je teda:

80x + 65y + 50z


Prehodená veža: V hornej tretine sú tanieriky za 50 dukátov, v strene je za 65 a v dolnej za 80. Kamienok rozbije tie isté miesta vo veži ako v pôvodnej veži, takže čísla x, y, z zostávajú rovnaké. 

Škoda je (v dukátoch):

50x + 65y + 80z


Škoda v prehodenej veži je o 330 dukátov nižšia ako v pôvodnej, a preto platí:

50x + 65y + 80z + 330 = 80x + 65y + 50z


Člen 65y je na oboch stranách, môžeme ho od oboch strán odčítať:

50x + 80z + 330 = 80x + 50z


Upravíme:

30z + 330 = 30x


Vydelíme číslom 30:

z + 11 = x


Z toho vyplýva, že v hornej tretine sa rozbilo o 11 tanierikov viac ako v dolnej tretine.

Na túto vlastnosť sa dalo prísť aj bez rovníc. Stredné tanieriky stoja v oboch vežiach rovnako, takže na rozdiel škôd nemajú vplyv. Zaujímajú nás len rozbité tanieriky z hornej a z dolnej tretiny. Každý rozbitý tanierik z hornej tretiny je v prehodenej veži o 30 dukátov lacnejší (80 \rightarrow 50), takže kvôli nemu je pôvodná škoda o 30 dukátov väčšia. Každý rozbitý tanierik z dolnej tretiny je v prehodenej veži o 30 dukátov drahší (50 \rightarrow 80), takže kvôli nemu je pôvodná škoda o 30 dukátov menšia. Tieto dva vplyvy sa navzájom zrušia. Keď spojíme jeden rozbitý tanierik z hornej tretiny s jedným rozbitým tanierikom z dolnej tretiny, v pôvodnej veži stoja spolu 80 + 50 = 130 dukátov a v prehodenej veži 50 + 80 = 130 dukátov, takže rozdiel je 0. Rozdiel škôd preto vznikol len z tých rozbitých tanierikov z hornej tretiny, ktoré nemajú v dolnej tretine svoj pár, a každý z nich ho zväčšuje o 30 dukátov. Keďže rozdiel je 330 = 30 × 11, takýchto tanierikov je 11, a teda hore sa rozbilo o 11 tanierikov viac ako dole.

Kamienok rozbíja vežu odhora. Ak sa rozbil aspoň jeden tanierik zo strednej tretiny, rozbili sa už všetky tanieriky z hornej tretiny. Ak sa rozbil aspoň jeden tanierik z dolnej tretiny, rozbili sa všetky tanieriky z hornej aj zo strednej tretiny.

Podľa toho to rozlíšime na tri prípady.

Prípad 1: rozbili sa len tanieriky z hornej tretiny. Potom x = 25 a z = 0. Z rovnice však vyplýva x = z + 11 = 0 + 11 = 11, a 25 \ne 11. Hodnota x by musela byť naraz 25 aj 11, čo nejde, takže tento prípad nastať nemôže.

Prípad 2: rozbili sa tanieriky z hornej a zo strednej tretiny, z dolnej žiadny. Potom z = 0, a teda x = 0 + 11 = 11. Keďže sa rozbil aspoň jeden stredný tanierik, rozbili sa všetky horné, takže v hornej tretine je n = 11 tanierikov. V strednej tretine ich je rovnako veľa, preto sa mohlo rozbiť najviac 11 + 11 = 22 tanierikov. My ich však máme rozbitých 25, čo je viac, ako sa vôbec mohlo rozbiť, takže ani tento prípad nastať nemôže.

Prípad 3: rozbil sa aspoň jeden tanierik z dolnej tretiny. Potom sa rozbili všetky tanieriky z hornej aj zo strednej tretiny, teda x = n a y = n, kde n je počet tanierikov v jednej tretine veže. Z rovnice z = x − 11 dostaneme z = n − 11. Spolu sa rozbilo 25 tanierikov:

n + n + (n − 11) = 25

3n − 11 = 25

3n = 36

n = 12

Teda x = 12, y = 12 a z = 12 − 11 = 1.

Pre x = 12, y = 12, z = 1 platí x + y + z = 25. Overíme si rozdiel škôd (v dukátoch):

Pôvodná veža: 80 \times 12 + 65 \times 12 + 50 \times 1 = 960 + 780 + 50 = 1790 dukátov

Prehodená veža: 50 \times 12 + 65 \times 12 + 80 \times 1 = 600 + 780 + 80 = 1460 dukátov

Rozdiel je 1790 − 1460 = 330 dukátov, čo sedí so zadaním.

Prípady 1 a 2 nastať nemôžu, takže iné riešenie neexistuje. V každej tretine veže bolo n = 12 tanierikov, a preto celá veža mala 3 × 12 = 36 tanierikov.

Veža mala pôvodne 36 tanierikov.