5. príklad - Vzorové riešenie

“Je súčin všetkých čísel kladný alebo záporný?” - Keď  pozrieme na otázku uvedomíme si, že sa nebudeme pozerať na číselné hodnoty, ale na znamienko - teda na kladnosť alebo zápornosť čísla.

Pre uľahčenie si označíme záporné číslo ako Z a kladné číslo ako K

Aby sme určili polaritu celkového súčinu sa pozeráme na počet záporných čísel, kladné totiž polaritu nemenia teda:
•Nepárny počet záporných čísel: (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1
•Párny počet záporných čísel: (-1) \cdot (-1) = 1

Na určenie počtu záporných čísel máme dve tvrdenia
“Súčet každých dvoch susedných čísel bol kladný” - Čo toto pre nás znamená:
V jednotlivej dvojici by sme normálne mali tri možnosti rôznych polarít:
Dve K
Dve Z 
Jedno Z jedno K

No teraz si uvedomujeme, že:

Dve K - môže byť
Dve Z - nemôže byť - dvojica by mala určite záporný súčet
Jedno Z jedno K - môže byť, no absolútna hodnota K musí byť väčšia ako absolútna hodnota Z

Tým pádom - každé Z má z obidvoch strán vedľa seba také K, kde absolútna hodnota K je väčšia ako absolútna hodnota Z.

”Súčet všetkých 39 čísel bol záporný.” 

Teda: 
Aby bol celkový súčet záporný tak si chceme povedať, či bude viac kladných alebo záporných čísel, keď máme viac čísel kladných, ale chceme celkový súčet záporný, záleží o absolútnu hodnotu celkového súčtu, 

Vieme, že že každé Z má aspoň jedno K, kde absolútna hodnota K je väčšia ako absolútna hodnota Z. To nám intuitívne hovorí, že pri rovnakom počte K a Z (alebo ak bude K viac) bude absolútna hodnota súčtu všetkých K vždy väčšia ako absolútna hodnota súčtu všetkých Z. Celkový súčet je |K|-|Z| (absolútna hodnota súčtu K mínus absolútna hodnota súčtu Z), teda by v takomto prípade bol väčší, ako 0, čo nechceme.

Stále sme ale poriadne nedokázali, že ak bude kladných čísel aspoň toľko, ako záporných, tak bude súčet všetkých čísel kladný. Našťastie sa to dá dokázať bez väčších ťažkostí. Každé záporné číslo bude mať totiž vpravo od seba kladné číslo, ktoré bude mať väčšiu absolútnu hodnotu a teda súčet tých dvoch čísel bude kladný. Okrem týchto dvojíc môžu ostať len kladné čísla, teda celkový súčet bude kladný.

Jediný problém nastane ak číslo najviac vpravo bude záporné, lebo vtedy nemá vpravo od seba žiadne ďalšie iné číslo. Vtedy môžeme toto záporné číslo popárovať s číslom vľavo od neho, ak to už s niečím popárované bolo, tak viacero záporných čísel popárujeme s číslami vľavo od nich. Keď bolo kladných čísel viac, než záporných, popárovanie nám vyjde a celkový súčet bude kladný.

Aby teda platili podmienky v zadaní, kladných čísel musí byť menej ako záporných.

Teda polovica 39 je 19 zv. 1 takže Z musí byť aspoň 20, no vieme, že Z sa za sebou nemôžu opakovať, keďže každá dvojica čísel má kladný súčet, teda koľko reálne môže byť Z?

Logicky chceme aby zaujali každé druhé miesto teda aby sa striedali aj s K a teda najviac získame Z práve vtedy keď je Z aj na začiatku aj na konci a to sa teda dá keďže 39 je nepárne číslo teda budeme mať 19 dvojíc K a Z, a napokon Z v rade to vyzerá:
ZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZKZ

Teda v teórii je jasné, že keďže máme 20 Z, čo je teda párny počet, tak by nám mal vyjsť súčin kladný, ako sme si už ukázali na začiatku, no ako pri veľa iných úlohách je dôležité uviesť aj nejaký príklad, aby sme dokázali, že úloha má riešenie.

Dôležité je si uvedomiť, že ak by každé záporné číslo bolo –1 a každé kladné 2, celkový súčet bude kladný. Ale predsa len, veľký problém nám to nerobí. Ak sú K rovnaké a Z rovnaké, kde K=Z+1, stačí aby Z bolo viac, než 20, keďže 20 \cdot 19 = 19 \cdot 20 – teda prípad, kde K=Z.