Zadania 2. zimného kola - Ahojte, Rieškari! Prvé zimné kolo máme úspešne za sebou. Čaká nás teda druhé kolo a s ním aj pokračovanie príbehu! Úlohy môžete nájsť tu a máte na ne čas do … Prejsť na článok
×7. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Nech D, E sú postupne stredy strán AB, BC trojuholníka ABC a F je stred úsečky AD. Označme priesečník priamok CD a EF ako bod X.
Dokážte, že bod X je stred úsečky EF.
Vzorové riešenie
Riešenie 1:
Zvoľme bod H ako stred úsečky CD, teda ∣DH∣ = ∣HC∣. Ďalej zo zadania vieme, že D je stred AB, F je stred AD a E je stred BC. Teda FH je v trojuholníku ADC stredná priečka, teda je rovnobežná s protiľahlou stranou AC. Taktiež ED je stredná priečka v ABC, pretože D a E sú stredy dvoch jeho strán, a teda DE je rovnobežná s protiľahlou stranou AC. Takže zatiaľ vieme FH ∣∣ AC a AC ∣∣ DE, teda FH ∣∣ DE.
Bod E je stred BC a bod H sme určili ako stred DC, teda v trojuholníku DBC je EH stredná priečka, teda EH je rovnobežná s protiľahlou stranou DB. Body D aj F ležia na AB, teda FD aj DB ležia na strane AB. Takže EH je rovnobežné sFD.
Teda vieme, že DE je rovnobežné s FH a EH je rovnobežné s FD, teda FDEH je rovnobežník, z ktorého vlastností vyplýva, že jeho uhlopriečky FE a DH sa rozpoľujú, a to práve v bode X, teda bod X je stred úsečky FE.
Riešenie 2:
Označme si stred úsečky AC ako G a bod pretnutia úsečiek EG a CD ako H. Tým pádom nákres našej úlohy vyzerá takto:
Platí |AG|=|GC| a ∣BE∣=∣EC|. Tým pádom platí, že EG je stredná priečka trojuholníka ABC, a teda GE \parallel AB.
Bod H leží na úsečke GE a D leží na úsečke AB. Z tohto a rovnobežnosti z vyššieho odseku platí, že HE \parallel DB. Tým, že bod E leží v strede úsečky BC, tak HE je stredná priečka v trojuholníku DBC. Jedna z vlastností strednej priečky v trojuholníku je, že jej dĺžka sa rovná presne polovici dĺžky strany, s ktorou je rovnobežná. Tým, že HE \parallel DB, tak |HE|=|BD|/2=\frac{2a}{2}=a.
Pozrime sa na uhly trojuholníkov FDX a XEH. Platí, že |\angle DHE|=|\angle HDF| a |\angle DFE|=|\angle HEF|, lebo dané uhly sú súhlasné (lebo HE \parallel DF).
Podľa vety usu platí zhodnosť FDX \cong EHX. Zo zhodnosti následne vyplýva, že |FX|=|EX|. Inými slovami bod \mathbf{X} delí úsečku \mathbf{EF} na polovicu.