Zadania 2. zimného kola - Ahojte, Rieškari! Prvé zimné kolo máme úspešne za sebou. Čaká nás teda druhé kolo a s ním aj pokračovanie príbehu! Úlohy môžete nájsť tu a máte na ne čas do … Prejsť na článok
×5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Viktor označil deväť kohútov číslami 1 až 9, každého iným číslom.
Kohúty chce rozostaviť do tabuľky 3 \times 3. Každému z troch riadkov a troch stĺpcov pritom priradí práve jeden z nasledujúcich šiestich popisov, každý práve raz:
- párne,
- nepárne,
- prvočíslo,
- štvorec (druhá mocnina celého čísla)
- násobok 3,
- deliteľ čísla 240.
Každý kohút musí stáť na mieste, kde jeho číslo spĺňa popis svojho riadka aj svojho stĺpca. Na každom mieste stojí práve jeden kohút.
Koľkými spôsobmi možno tabuľku vyplniť, ak záleží aj na poradí popisov okolo nej?
Vzorové riešenie
Pozrime sa na vlastnosti a ktoré čísla od 1 po 9 ich spĺňajú.
- párne - 2, 4, 6, 8
- nepárne - 1, 3, 5, 7, 9
- prvočíslo - 2, 3, 5, 7 (pozor 1 nie je prvočíslo)
- štvorec - 1, 4, 9
- násobok 3 - 3, 6, 9
- deliteľ čísla 240 - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8
Ešte nevieme, ktoré vlastnosti budú kde, ale vieme, že ich budeme musieť rozdeliť do dvoch skupiniek - podľa toho, či určujú vlastnosť riadku alebo stĺpca.
Okrem toho každá vlastnosť bude mať priradené 3 čísla (v jej riadku, alebo stĺpci), ktoré ju spĺňajú.
Aha... štovrec aj násobok 3 majú iba 3 možné čísla - vieme teda že to budú tie priradené k nim. Okrem toho zdieľajú číslo 9. Ak by boli v rovnakej skupinke (napr. obe pre riadok), tak 9 by musela byť v dvoch riadkoch (alebo stĺpcoch). To znamená musia byť v rôznych skupinkách (9 bude na ich priesečníku).
Zatiaľ nevieme ako bude tabuľka vyzerať, môžeme sa pozrieť na ilustračný obrázok, nech máme lepšiu predstavu:
| štvorec | |||
|---|---|---|---|
| násobky 3 | 9 | 6 | 3 |
| 4 | |||
| 1 |
Pozerajúc na zostávajúce vlastnosti, prvočísla so štvorcami nezdieľajú žiadne číslo. Ak by boli v rôznej skupinke na ich priesečníku by muselo byť nejaké číslo. Takže musia byť v skupinke so štvorcami, ich priesečník s násobkami 3 musí byť v 3, lebo 6 nie je prvočíslo.
| štvorec | prvočíslo | ||
|---|---|---|---|
| násobky 3 | 9 | 6 | 3 |
| 4 | |||
| 1 |
Veľa z vás si už na začiatku všimlo, že párne a nepárne nemajú žiadne spoločné číslo. Teraz prišiel moment to využiť! Iba v jednej skupinke máme dve voľné miesta. Podľa čísel z štvorca vieme, kde budú párne a kde nepárne. Deliteľ 240 bude na poslednom voľnom mieste:
| štvorec | deliteľ 240 | prvočísla | |
|---|---|---|---|
| násobky 3 | 9 | 6 | 3 |
| párne | 4 | ||
| nepárne | 1 |
Zostalo nam urcit polohu 2, 5, 7, 8. 7 nie je párne ani deliteľ 240, takže má iba jedno možné miesto. 8 nie je nepárne ani prvočíslo, takže má tiež len jedno miesto. Do zvyšných dvoch políčok vieme 2 a 5 doplniť podľa parity.
| štvorec | deliteľ 240 | prvočísla | |
|---|---|---|---|
| násobky 3 | 9 | 6 | 3 |
| párne | 4 | 8 | 2 |
| nepárne | 1 | 5 | 7 |
Teraz si spomeň, že tabuľky boli iba ilustračné. Môžeme sa spätne pozrieť, kde sme robili rozhodnutia aby sme zistili, koľko možností máme.
Poďme spočítať možnosti podľa nášho postupu:
9 môžeme umestniť hocikam (9 možností). Podľa toho vieme, kde bude štvorec a násobok 3. Nevieme ale, ktoré je riadok a ktoré stĺpec - to si môžeme vybrať (2 možnosti). Vyberieme si poradie 4 a 1 v stĺpci (2 možnosti). Ešte poradie 3 a 6 (2 možnosti).
Ak sa pozrieš naspäť na náš postup, zvyšok sme doplnili jednoznačne, teda po tom vyberaní zostáva iba jedna možnosť. Žiaden z výberov nám neobmedzuje žiaden iný, takže výsledný počet získame násobením. 9 * 2 * 2 * 2 = 72 možností.
Dá sa to aj inak:
To čo sme v skutočnosti urobili je rozdelili vlastnosti do dvoch skupiniek. Urobili sme to tak, aby sa čísla dali konzistentne doplniť na priesečníky týchto vlastností. To znamená, že výber, ktorá skupinka sú riadky a poradie vlastností v riadkoch a stĺpcoch nám určí rozmiestnenie čísel.
Máme teda 2 (výber riadok/stĺpec) krát 3 * 2 * 1 pre poradie vlastností v prvej skupinke krát 3 * 2 * 1 pre poradie vlastností v druhej skupinke. To je dokopy 72 možností.
Časté chyby
Veľmi častou chybou bolo, že niekto iba ukázal vyplnenú tabuľku. V Rieškach nás predovšetkým zaujíma postup a tu bol potrebný na počítanie možností. Hociktorý krok vynechaný v postupe môže znamenať, že čísla mohli byť doplnené nejednoznačne a nejaké možnosti sme vynechali.
Okrem toho niektorí z vás rátali 1 ako prvočíslo, čo nie je :D