Zadania 2. zimného kola - Ahojte, Rieškari! Prvé zimné kolo máme úspešne za sebou. Čaká nás teda druhé kolo a s ním aj pokračovanie príbehu! Úlohy môžete nájsť tu a máte na ne čas do … Prejsť na článok
×4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Na piatich fľaštičkách sú napísané kladné celé čísla. Súčet čísel na ľubovoľných dvoch rôznych fľaštičkách je vždy jedno z čísel 31, 38 alebo 45. Každý z týchto troch súčtov sa pritom pri nejakej dvojici fľaštičiek vyskytne.
Čísla na rôznych fľaštičkách nemusia byť rôzne.
Nájdite všetky možnosti, aké čísla môžu byť na fľaštičkách.
Vzorové riešenie
Označme si fľaštičky: A,B,C,D,E. Pozrime sa na to, čo by sa stalo ak by každá mala na sebe iné číslo. Pozrime sa, ako by vyzerali súčty čísel na fľaštičkách. Už len pre kombinácie fľaštičky A s ostatnými:
A+B,\ A+C,\ A+D,\ A+E
vidíme, že dostaneme aspoň 4 rôzne súčty, keďže sme predpokladali, že každé číslo je iné.
Takto to teda fungovať nebude. Na to, aby sme mohli mať iba 3 rôzne súčty medzi fľaštičkami, musia byť aspoň na dvoch z nich čísla rovnaké. Povedzme, že to rovnaké číslo bolo A. Ak by aj nebolo, môžeme proste vymeniť písmená tak, aby to bolo A. Máme teda fľaštičky s číslami: A,A,B,C,D.
Keď sčítame dve rovnaké čísla, výsledok bude vždy párny, pretože je to to isté ako vynásobiť číslo 2. Teda ak máme na dvoch fľaštičkách rovnaké číslo, ich súčet musí byť párny a teda to bude 38, jediný párny súčet, čo sa môže vyskytovať.
Takže, naše fľaštičky A majú obe na sebe čísla \frac{38}{2}=19
Ak 19 sčítame s nejakým iným číslom na ostatných fľaštičkách, musí byť ich súčet 31 alebo 45. Na jednej z ostatných fľaštičiek je teda číslo 31-19=12. Na inej z nich je 45-19=26.
26+12=38, čo nám pekne sedí a zatiaľ máme iba požadované tri súčty.
Máme teda 4 čísla: 19,19,12 a 26
Ak pridáme ľubovoľné piate číslo, rozdielne od týchto, keď ho sčítame s 19, vytvorilo by nový súčet, čo nechceme. Ak pridáme ako piate číslo 12, tak 12+12=24. Ak pridáme 26, tak 26+26=52. Oba sú to nové súčty.
Z tohto nám vyplýva, že jediné číslo, ktoré môže byť na piatej fľaštičke je znova 19. Pridaním ďalšej 19 sa nič nepokazí, všetky súčty medzi 19 a ostatnými číslami už existujú.
Na piatich fľaštičkách sú teda tieto čísla: 12, 19, 19, 19, 26.