Zadania 2. zimného kola - Ahojte, Rieškari! Prvé zimné kolo máme úspešne za sebou. Čaká nás teda druhé kolo a s ním aj pokračovanie príbehu! Úlohy môžete nájsť tu a máte na ne čas do … Prejsť na článok
×2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Viktorov mozog má v jednej rade päť za sebou idúcich komôr. V každej komore Viktorovho mozgu sa nachádza aspoň jedna mozgová bunka.
Dve mozgové bunky sú susedné, ak sa nachádzajú v tej istej komore alebo v dvoch susedných komorách. Samotnú bunku medzi jej susedov nepočítame.
Každá Viktorova mozgová bunka má presne 5 alebo presne 10 susedov.
Koľko mozgových buniek má Viktor?
Vzorové riešenie
Prvá vec, ktorú si môžeme všimnúť je, že všetky bunky v jednej komore majú rovnaký počet susedov. Môžeme sa teda na všetky bunky prvej komory pozrieť naraz, na všetky druhej komory naraz atď. Druhá vec, ktorú si môžeme všimnúť je, že počet susedov bunky v nejakej komore sa dá vypočítať ako počet buniek dokopy v tej komore a v oboch susedných mínus 1 (teda napríklad ak v prvej komore je 1 bunka, v druhej 2 a v tretej 3, tak počet susedov k bunke v prvej komore je 1 + 2 - 1 = 2 a k bunke v druhej komore 1 + 2 + 3 - 1 = 5).
Ak by bunky v prvej komore mali 10 susedov, znamená to, že v prvej a druhej komore je dokopy 11 buniek (bunka a desať jej susedov). V tretej komore musí byť aspoň jedna bunka, dokopy v prvej, druhej a tretej komore ich teda bude aspoň 12. To znamená, že v druhej komore budú mať bunky aspoň 11 susedov, čo je ale v rozpore so zadaním.
Keďže nevychádza, aby bunky v prvej komore mali 10 susedov, musia ich mať 5. V prvej a druhej komore teda bude dokopy 6 buniek, a keďže v tretej musí byť aspoň jedna, v prvej druhej a tretej musí byť dokopy aspoň 7 buniek. To znamená, že bunky v druhej komore musia mať desať susedov. To ale znamená, že v prvej, druhej a tretej komore je dokopy 11 buniek. Keďže zároveň vieme, že v prvej a druhej komore je dokopy 6 buniek, v tretej komore ich musí byť 11-6=5.
Podobné zamyslenia, ako sme robili doteraz, môžeme zopakovať aj z druhej strany - namiesto prvej, druhej a tretej komory pre prvú od konca (piatu), druhú od konca (štvrtú) a tretiu od konca. Zistíme teda, že v piatej a štvrtej komore dokopy je 6 buniek (rovnako ako v prvej a druhej dokopy).
Vieme teda, že v prvých dvoch komorách je dokopy 6 buniek, v tretej je ich 5 a v štvrtej a piatej dokopy je ich 6. Dokopy ich teda musí byť 6 + 5 + 6 = 17.
Týmto už máme úlohu vyriešenú, ale ak chceme, môžeme aj nájsť všetky možnosti na počty buniek v jednotlivých komorách. Ukáže sa, že týchto možností je 5, konkrétne sú to tieto:
1, 5, 5, 1, 5\\
2, 4, 5, 2, 4\\
3, 3, 5, 3, 3\\
4, 2, 5, 4, 2\\
5, 1, 5, 5, 1