Vianočný čajík - Milí naši Rieškari, aj tento rok sme si pre Vás tradične naplánovali Vianočný čajíček. Pre tých, ktorí o ňom ešte nepočuli, je to akcia, na ktorej spolu zájdeme do čajovne, … Prejsť na článok
×9. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Ponorka má tvar pravouhlého trojuholníka ABC, v ktorom |AB|=|AC|=1. Bod D leží niekde na úsečke AB. Bod E je priesečník strany BC s osou strany CD. Nájdite najväčšiu a najmenšiu možnú dĺžku úsečky CE.
Vzorové riešenie
Označme si S, M, T postupne stredy strán AC, CD, BC. Vieme, že ME je os strany CD, teda uhol \angle DME je pravý:
Všimnime si že, pri ľubovolnej voľbe bodu D bude bod M vždy ležať na priamke ST, lebo SM je stredná priečka v trojuholníku ADC, teda je rovnobežná s stranou AD a rovnako aj ST je stredná priečka trojuholníku ABC rovnobežná s AB. Teda SM a ST sú navzájom rovnobežné a prechádzajú jedným bodom, tým pádom sú identické a body S,M,T ležia na jednej priamke (= sú kolineárne).
Označme si K stred úsečky CE. Vieme, že uhol \angle CME je pravý, takže kružnica s stedom v K a polomerom \frac{\left|CE\right|}{2} bude Tálesova kružnica opísaná trouholníku CEM. Úsečka KM je tým pádom tiež polomerom tejto kružnice.
Takže úsečka CE je najkratšia ak polomer opísanej kružnice CEM je najmenší a podobne najdlhšia ak je tento polomer najdlhší. Zamyslime sa kedy tieto prípady nastávajú.
Poloha bodu C a úsečky ST sa nijako nemenia hýbaním bodom D. Mení sa tým však poloha bodu M. My vieme, že Tálesova kružnica opísaná trojuholníku CEM sa musí pretínať s priamkou ST, už len pre to, aby bod M mohol existovať. Najmenšia preto bude vtedy, ak sa úsečky ST iba dotýka a najväčšia ak je celá úsečka ST tetivou tejto kružnice, alebo teda body S,T na nej ležia. Pozrime sa najprv na tento prípad, keď je kružnica najväčšia. Vtedy splýva bod M s jedným z bodov S,T, resp. D splýva s jedným z A,B. Ak M = S tak sa úsečky ST a ME stanú identické, a teda E=T. Ak zas splýva M s T, tak úsečky BC a CD sú identické a teda E=M=T. Takže najväčšia možná dĺžka úsečky CE je dĺžka úsečky CT, teda polovica prepony \triangle ABC:
\max{\left|CE\right|}= \frac{\left|BC\right|}{2}= \frac{\sqrt{1^2+1^2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Teraz poďme nájsť najkratšiu dĺžku polomeru Tálesovej kružnice. Chceme teda, aby sa úsečky ST iba dotýkala, teda KM je kolmá na ST.
Nech P je bod na strane AC taký, že PK je rovnobežná s ST alebo podobne AB. Trojuholníky PKC a ABC sú tým pádom podobné. Takže platí
\frac{\left|CK\right|}{\left|CP\right|} = \frac{\left|CB\right|}{\left|CA\right|} = \frac{\sqrt2}{1}.
Ale tu sme neskončili. Ešte k tomu vieme, že \left|CK\right| = \left|KM\right|, keďže oba sú polomery kružnice. Zároveň o štvoruholníku SMKP vieme z rovnobežnosti ST \parallel PK a toho, že KM \perp ST, že je to obdĺžnik. Tým pádom
\left|PS\right| = \left|KM\right| = \left|CK\right|.
O ST vieme že je to stredná priečka, tak vieme vypočítať dĺžku \left|CS\right| = \frac{1}{2}\left|AB\right| = \frac{1}{2}. Teraz si vieme pekne vyjadriť dĺžku úsečky CP:
\left|CP\right| = \left|CS\right| - \left|PS\right| = \left|CS\right| - \left|CK\right| = \frac{1}{2} - \left|CK\right|.
Toto si dosadíme späť do rovnice s pomermi:
\frac{\left|CK\right|}{\frac{1}{2} - \left|CK\right|} = \sqrt2.
Ak teraz vyriešime rovnicu pre \left|CK\right| budeme vedieť aj dĺžku CE, keďže CK je polomer a CE je priemer kružnice. Tak si rovnicu upravíme.
\left|CK\right| = \frac{\sqrt2}{2} - \sqrt2\left|CK\right|.
\left|CK\right| + \sqrt2\left|CK\right| = \frac{\sqrt2}{2}.
\left|CK\right| = \frac{\sqrt2}{2+2\sqrt2}.
Tým pádom sme našli dĺžku CE pre aj tento prípad
\left|CE\right| = 2\left|CE\right|= 2\frac{\sqrt2}{2+2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{1+\sqrt2}.
Odpoveď: Maximálne a minimálne dĺźky CE sú
\max\left|CE\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}
a
\min\left|CE\right| = \frac{\sqrt2}{1+\sqrt2}.