8. príklad - Vzorové riešenie

Najprv sa pozrime iba na situáciu, ak máme dve rôzne čísla. Väčšie číslo si označme a, menšie b. Chceme zistiť, kedy bude ich súčin väčší ako ich súčet. Ak a > 2, b > 1, platí, že  a+b < a \cdot b. To znamená, že sa nám oplatí rozkladať väčšie čísla na menšie (pokiaľ budú tie, ktoré vzniknú ešte viac ako 1), lebo namiesto členu a+b v súčine budeme mať a \cdot b.

Teraz sa poďme pozrieť, kedy bude súčin týchto dvoch čísel najväčší. To spravíme tak, že sa pozrieme ako sa zmení súčin, keď od väčšieho odpočítame 1 a k menšiemu pripočítame 1.

(a-1)\cdot(b+1)>a \cdot b
a \cdot b + a - b + 1 > a \cdot b
a-b > 1

To znamená, že najväčší súčin je vtedy, keď je rozdiel medzi dvoma číslami 1. Takže chceme 2025 rozdeliť na čo najviac rôznych po sebe idúcich čísel. Do 2025 sa zmestí súčet 2 + 3 + \dotso + 63 = 2015 a ostane nám ešte súčet 10, ktorý musíme niekde rozložiť.

Chceme stále zachovať čo najmenšie rozdiely medzi číslami, takže tento súčet bude najlepšie rozližiť rovnomerne medzi viac čísel. Jediné miesto, kde toto môžeme spraviť bez opakovania čísel, je posledných 10 čísel.

Výsledkom bude súčin 2 \cdot 3 \cdot \dotso \cdot 53 \cdot 55 \cdot 56 \cdot \dotso \cdot 64 = 64! / 54.

Odpoveď: Najväčší súčin je 64!/54.