Vianočný čajík - Milí naši Rieškari, aj tento rok sme si pre Vás tradične naplánovali Vianočný čajíček. Pre tých, ktorí o ňom ešte nepočuli, je to akcia, na ktorej spolu zájdeme do čajovne, … Prejsť na článok
×6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Nájdite najväčšie párne prirodzené číslo, ktoré sa nedá zapísať ako súčet dvoch nepárnych zložených čísel.
Vzorové riešenie
Môžeme začať skúšaním toho, ktoré čísla sa takto zapísať dajú a nedajú. Po chvíli skúšania zistíme, že 38 sa tak ešte zapísať nedá, ale všetky väčšie párne čísla vyzerajú, že áno. Poďme to teda skúsiť ukázať:
Číslo 38 nevieme zapísať ako súčet dvoch nepárnych zložených čísel, lebo:
Zložené nepárne čísla menšie ako 38 sú 9, 15, 25, 27, 33 a 35. Ak skúsime číslam nájsť druhé zložené číslo s ktorým by dávali súčet 38, tak zistíme, že:
- 38 - 9 = 29
- 38 - 15 = 23
- 38 - 25 = 13
- 38-27=11
- 38-33=5
- 38 - 35 = 3
Ani jedno z výsledných čísel nie je zložené číslo a teda 38 spĺňa podmienku zo zadania.
Väčšie číslo ako 38 také neexistuje, lebo:
Pozrime sa na nasledujúce 3 párne čísla (40, 42, 44).
- Číslo 40 vieme napísať ako súčet dvoch zložených nepárnych čísel napr. takto:
15 + 25 = 40. Pozrime sa na čísla, ktoré vznikajú pripočítaním ku 40 násobku čísla 6. Volajme tento násobok 6k, kde k je kladné celé číslo. Už vieme že 40 = 15 + 25 a teda 40 + 6k = 15 + 25 + 6k = 25 + 3(5 + 2k)To je súčet dvoch zložených nepárnych čísel. A teda všetky číslav tvare 40+6k sa dajú zapísať ako súčet dvoch zložených nepárnych čísel.
- Číslo 42 vieme napísať ako súčet dvoch zložených nepárnych čísel napr. takto:
42 = 21 + 21. K obom stranám teraz pripočítame násobok 6 ako 6k a upravíme: 42 + 6k = 21 + 21 + 6k = 21 + 3( 7 + 2k)čo je súčet dvoch nepárnych zložených čísel. A teda všetky čísla v tvare 42+6k sa dajú zapísať ako súčet dvoch zložených čísel.
- Číslo 44 vieme napísať ako súčet dvoch zložených nepárnych čísel napr. takto:
42 = 33 + 9. K obom stranám teraz pripočítame násobok 6 ako 6k a upravíme: 44 + 6k = 33 + 9 + 6k = 33 + 3( 3 + 2k)čo je súčet dvoch nepárnych zložených čísel. A teda všetky čísla v tvare 44+6k sa dajú zapísať ako súčet dvoch zložených čísel.
Všimnime si, že každé párne číslo väčšie ako 38 je v jednom z príslušnách tvarov. A teda všetky čísla väčšie ako 38 vieme zapísať ako súčet dvoch zložených nepárnych čísel,preto je 38 najväčšie možné číslo, ktoré takto zapísať nevieme.