5. príklad - Vzorové riešenie

V zadaní príkladu dostávame dve úlohy:

• koľko najviac mincí môže získať kapitán pre seba
• dokážte, že viac získať nemôže

Nie je úplne jednoduché zistiť, aký najväčší počet mincí môže kapitán získať. Spôsob akým toto môžeme obísť je ukázať, že počet mincí ktorý ukážeme, že získať môže je najväčší možný. Preto sa najprv pokúsime nájsť počet, ktorý si myslíme, že by mohol byť najväčší a potom dokážeme, že väčší získať nemôže.

Určme si jedného iného piráta, iného ako kapitán, ktorý môže hlasovať a volajme ho Adam. Náš postup začneme tak, že si vyberieme ešte jedného iného piráta ako Adam a kapitán. Tomu darujeme mincu, ktorá pôvodne patrila kapitánovi a týmto vytvoríme nové rozdelenie. Toto bude prvý krok. Nové rozdelenie bude úspešné, keďže jediný hlas bude áno.

V ďalšom kroku tomuto pirátovi vezmeme obe mince, jednu dáme Adamovi a druhú inému ľubovoľnému pirátovi. Toto hlasovanie prejde, lebo dvaja piráti budú hlasovať za a jeden proti. Teraz má tento nový ľubovoľný pirát dve mince.

V ďalšom kroku môže tento pirát dať jednu zo svojich mincí ďalšiemu pirátovi a druhú Adamovi, toto zasa prejde, potom ten pirát, ktorý dostal dá ďalšiemu a Adamovi... a krok môžeme znova opakovať, čím zväčšujeme počet mincí, ktoré má Adam. Skončiť musíme až keď nevieme vybrať iného piráta, ktorý má ešte jednu mincu (aby sme mu druhú mohli darovať a opakovať krok), teda v tomto momente má Adam 99 mincí a jeden iný náhodný pirát dve mince.

Ďalej môže ešte pirát s dvoma mincami jednu darovať Adamovi a jednu inému náhodnému pirátovi s nula mincami. Tým sa dostaneme do stavu, kde má Adam 100 mincí a jeden iný pirát jednu. Potom kapitán zoberie Adamovi všetky jeho pocitvo zarobené mince a dve z nich daruje dvom pirátom, ktorý majú nula mincí. Toto hlasovanie prejde s dvoma pirátmi za a jedným proti, čím si kapitán získal 98 mincí. 

Teraz potrebujeme dokázať, že 98 je skutočne najväčší počet mincí aký môže kapitán získať. Poďme sa teda pozrieť na to, čo by sa muselo stať aby ich získal viac:

1. Povedzme, že by sa kapitánovi podarilo nejako nazbierať aspoň 99 mincí
2. Ak má aspoň 99 mincí tak existujú najviac dvaja iní piráti, ktorí majú jednu mincu
3. Keďže sú najviac dvaja piráti, ktorý nemajú nula mincí, tak takéto rozdelenie mohlo získať najviac dva hlasy za (iba od pirátov, ktorý majú aspoň jednu mincu)
4. Keďže mohlo získať najviac dva hlasy za, tak mohlo mať najviac jeden hlas proti 
5. Každý pirát ktorému zoberieme mince hlasuje proti, teda predtým ako sme sa dostali do tohto stavu musel mať všetky mince hlasujúcich pirátov práve jeden pirát - ak by ich bolo viac, tak každý z nich má teraz nula mincí, teda menej ako predtým - všetci by hlasovali proti
6. Toto rozdelenie mohlo získať najviac jeden hlas za, od piráta, ktorý má všetky mince, keďže ostatní majú nula mincí, teda menej alebo rovnako ako predtým. 
7. Ak sa chceme dostať do tohto stavu, musíme v nejakom bode dať všetky mince jednému pirátovi bez toho aby hocikto hlasoval proti, čo zjavne nie je možné, lebo od niekoho tieto mince musíme zobrať, teda niekto bude hlasovať proti (je to možné v prípade, že nikomu týmto rozdelením nezoberieme mince, to však znamená, že už predtým musel mať jeden pirát všetky mince, teda do tohto stavu sa nevieme dostať inak ako v ňom začať. V počiatočnom rozdelení nemá jeden pirát všetky mince a teda taký stav nemôže nastať nikdy).
8. Toto ale potrebujeme na to aby kapitán získal 99 a viac mincí, teda ich toľko získať nemôže.

Keďže kapitán má možnosť získať deväťdesiat osem mincí, no viac nie, tak deväťdesiat osem mincí je zároveň najväčší možný počet mincí, ktoré môže získať.