Odporúčaný článok

Vianočný čajík - Milí naši Rieškari, aj tento rok sme si pre Vás tradične naplánovali Vianočný čajíček. Pre tých, ktorí o ňom ešte nepočuli, je to akcia, na ktorej spolu zájdeme do čajovne, … Prejsť na článok

×

10. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Máme štyri kladné čísla a,b,c a n. Platia pre ne nasledujúce rovnice:

a = \text{nsd}(b,c) + n
b = \text{nsd}(c,a) + n
c = \text{nsd}(a,b) + n

Kde \text{nsd}(x, y) značí najväčšieho spoločného deliteľa čísel x, y. Nájdite všetky možné štvorice a,b,c,n.

Vzorové riešenie

Opravovali: Johnny

Toto riešenie je kvôli prehľadnosti rozdelené na 3 časti:

  1. Sú čísla a,b,c všetky rôzne?
  2. Sú čísla a,b,c všetky rovnaké?Dopocˇıˊtanieriesˇenia
  3. Dopočítanie riešenia

Sú čísla a,b,c všetky rôzne?

Na začiatok si označme najväčšie spoločné delitele zo zadania:
NSD(b,c) = x 
NSD(c,a) = y
NSD(a,b) = z

Následne si vieme rovnice zo zadania prepísať ako:
a = x+n
b=y+n
c=z+n

Tieto vzťahy teraz vieme dosadiť do našich najväčších spoločných deliteľov:
x=NSD(b,c)=NSD(y+n,z+n)
y=NSD(c,a)=NSD(z+n,x+n)
z=NSD(a,b)=NSD(x+n,y+n)


Z vlastností najväčšieho spoločného deliteľa nejakých čísel r  a s vieme, že
NSD(r,s) = NSD(r,s-r).
Prepíšme si teda naše NSD do tohoto tvaru:

x=NSD(y+n,[z+n]-[y+n])=NSD(y+n,z-y)
y=NSD(z+n,[x+n]-[z+n])=NSD(z+n,x-z)
z=NSD(x+n,[y+n]-[x+n])=NSD(y+n,y-x)

Z rozdielov, ktoré môžeme vidieť na koncoch riadkov, vyplývajú nasledovné vzťahy:
x|(z-y)
y|(x-z)
z|(y-x)

Na to aby x mohlo byť deliteľom z-y, musí byť menšie, alebo rovné tomuto rozdielu. To platí aj pre všetky ostatné vzťahy vyššie.

To znamená, že čísla x,y,z nemôžu byť všetky rôzne:
Ak by boli rôzne, teda dal by sa spraviť zápis x>y>z (alebo v ľubovoľnom inom poradí), Potom nemôže platiť že x≤(z-y) a zároveň x>z.

Sú čísla a,b,c všetky rôzne?

Čísla x,y,z ale nemôžu byť ani všetky rovnaké:
Ak by boli vštky rovnaké, potom by aj čísla a,b,c boli všetky rovnaké a dostali by sme vzťah a=NSD(a,a)+n 
pričom vieme že NSD(a,a)=a a teda číslo a sa nemôže rovnať a+n (lebo zo zadania, sú všetky čísla kladné a teda aj nenulové).

Dopočítanie riešenia

Dve čísla z x,y,z teda musia byť rovnaké.
Bez ujmy na všeobecnosti povedzme, že y=z.
To znamená, že aj b=c.
Potom vieme toto dosaďiť do vzťahu pre a:

a=NSD(b,b)+n
a=b+n

Teraz si dosaďme tento vzťah o ačku pre rovnicu o bčku, ktorú vieme zo zadania:
b=NSD(b+n,b)+n
čo si vieme upraviť ako:
b=NSD(b,n)+n

Označme si NSD(b,n) = k
Z toho vyplýva že b=k+n

Čísla b a n si zároiveň vieme označiť ako nejaké nísobky čísla k, teda:
b=k\cdot l
n=k \cdot m

Teraz si dosaďme dva tieto nové vzťahy o bčku a dopočítajme:
b=k+n=k \cdot l                  - dośadíme do nka
k+(k \cdot m)=k \cdot l
k(1+m)=k\cdot l
1+m=l

potom si n vieme vyjadriť ako k(l-1) a dopočítať a:
a=k \cdot l+k(l-1)=k(2l-1)

Čísla zo zadania si teda vieme vyjadriť ako:
a=k(2l-1)
b=k \cdot l
c=k\cdot l
n=k(l-1)

Odpoveď:

Riešením je každá usporiadaná štvorica čísel [a;\ b;\ c;\ n], ktorá sa dá zapísať v tvare [k(2l-1);\ k\cdot l;\ k\cdot l;\ k(l-1)]

Komentár:

Riešenie má takýto tvar, kvôli tomu, že sme si stanovili b=c, ale toto nemuseli byť vždy tie dve čísla, ktoré sú rovnaké. Mohli byť napríklad a=b. V tom prípade by boli prvky v hranatej zátvorke poposúvané v rovnakom vzťahu, teda [k\cdot l;\ k\cdot l;\ k(2l-1);\ k(l-1)]


Bodovanie:

Keďže tento príklad má nekonečne veľa riešení a rôzne zápisy sa vedia líšiť, uznávali sme všetky. Dôležitý je postup. teda zistenie, že čísla a,b,c nemôžu byť všetky rovnaké a ani rôzne.