Zverejnili sme 3. kolo - Milí riešitelia, Na stránke sme už zverejnili posledné kolo tejto série, jeho zadania môžete nájsť aj na tomto odkaze. Termín odovzdania je 4.12., tak hor sa na to, a držíme … Prejsť na článok
×9. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
V špeciálnej hre o mincu hodíme mincou 100 krát. Prvý hod je určite hlava, a druhý hod je určite znak. Každý nasledujúci hod funguje nasledovne. Ak sme už doteraz hodili A hláv a B znakov, tak pravdepodobnosť, že v tomto hode hodíme hlavu je \frac{A}{A+B}. Naopak, šanca že hodíme znak je \frac{B}{A+B}. Aká je pravdepodobnosť, že zo 100 hodov padne v práve 50 hlava?
Vzorové riešenie
Keďže mincu hádžeme opakovane, tak pravdepodobnosti jednotlivých hodov budeme násobiť. Poďme sa pozrieť ako bude vyzerať pravdepodobnosť na hodenie 4 hláv z 5 hodov.
Prvý hod je určite hlava (pravdepodobnosť je 1), druhý hod je určite znak (pravdepodobnosť je 1), tretí hod je hlava s pravdepodobnosťou \frac{1}{2}, štvrtý hod je hlava s pravdepodobnosťou \frac{2}{3} a piaty hod je hlava s pravdepodobnosťou \frac{3}{4}. Výsledná pravdepodobnosť je 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{4}.
Môžeme si všimnúť 3 veci. Prvá dva hody sú dané, takže neovplyvnia výslednú pravdepodobnosť (po zvyšok riešenia ich nebudem písať). V menovateli sa objavia všetky čísla medzi 2 a \text{počet hodov} - 1, inak povedané (\text{počet hodov}-1)!. V čitateli sa objavia všetky čísla medzi 1 a \text{počet hláv}-1 a medzi 1 a \text{počet znakov}-1, inak povedané (\text{počet hláv}-1)! a (\text{počet znakov}-1)!.
Poďme teraz vypočítať pravdepodobnosť, že padne hlava, znak, 49 hláv a 49 znakov v tomto poradí. Podľa odseku vyššie bude vyzerať nasledovne: \dfrac{49!\cdot49!}{99!}.
Teraz si treba uvedomiť, že toto je pravdepodobnosť pre toto konkrétne poradie a zároveň všetky ostatné možnosti ako mohlo tých 98 hodov dopadnúť. Teraz nám ostáva túto pravdepodobnosť vynásobiť počtom možností ako hodiť 49 hláv a 49 znakov. Môžeme si všimnúť, že každá možnosť je určená tým, na ktorých miestach sa nachádzajú hlavy. Takže chceme počet možností ako vybrať 49miest z 98. To vieme vypočítať ako kombinačné číslo \dbinom{98}{49}=\dfrac{98!}{49!\cdot(98-49)!}=\dfrac{98!}{49!\cdot49!}.
Nakoniec už iba vynásobíme \dfrac{49!\cdot49!}{99!}\cdot\dfrac{98!}{49!\cdot49!}=\dfrac{98!}{99!}=\dfrac{1}{99}.
Odpoveď: Pravdepodobnosť, že zo 100 hodov padne 50 hláv je \dfrac{1}{99}.