Zverejnili sme 3. kolo - Milí riešitelia, Na stránke sme už zverejnili posledné kolo tejto série, jeho zadania môžete nájsť aj na tomto odkaze. Termín odovzdania je 4.12., tak hor sa na to, a držíme … Prejsť na článok
×8. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
420 výprav z rôznych krajín sedí za okrúhlym stolom. Úlohou je každej výprave priradiť číslo v poradovníku (od 1 do 420, každé práve raz), avšak s jednou podmienkou. Ak tri výpravy s číslami A, B, C sedia vedľa seba (obsadzujú 3 miesta vedľa seba za stolom v poradí tak, že B je medzi A a C), musí platiť že (A + C) je deliteľné B+1. Je možné s touto podmienkou rozdeliť čísla?
Vzorové riešenie
Pozrime sa na číslo B. V číslach od 1 po 420 sú zaručene nejaké nepárne čísla, takže určite vieme nájsť číslo B, ktoré bude nepárne. B+1 bude párne. A+C bude teda musieť byť násobok párneho čísla a ten bude vždy párny. Párny súčet dostaneme len sčítaním dvoch čísel s rovnakou paritou, teda p + p alebo n + n. Každé nepárne číslo teda musí mať oboch susedov rovnakej parity.
Ak obkolesíme prvé nepárne číslo dvomi nepárnymi, teda máme nnn, číslo naľavo aj napravo už má jedného suseda - nepárne číslo. Ich druhý sused musí taktiež byť nepárny. Týmto spôsobom by sme dostali reťazec iba nepárnych čísel, lenže v číslach od 1 po 420 sú aj párne čísla. Žiadne nepárne číslo teda nebude obkolesené nepárnymi.
Nepárne čísla teda určite musíme obkolesiť párnymi. Keďže máme rovnako veľa párnych aj nepárnych čísel, musia sa nam v reťazci striedať (pnpnpn).
Teraz si zoberme číslo 420 ako číslo B, čiže B+1=421. 420 je párne, bude teda obkolesené dvomi nepárnymi. Dve nepárne čísla budú mať určite párny súčet, teda budú musieť byť párnym násobkom 421. Taký najmenší je 842 (421\times2), lenže aj dve najväčšie nepárne čísla, 419 a 417, majú súčet len 836. To je žiaľ primálo.
Odpoveď: Čísla nevieme zoradiť bez porušenia podmienky v zadaní.